§ 9. Умножение обобщенной функции на гладкую функцию

Умножение если его рассматривать как действие над двумя функциями не является регулярным, ибо произведение двух фундаментальных последовательностей не обязано быть фундаментальным.

Однако умножение можно рассматривать также как действие над одной функцией, при фиксированном втором множителе. Обозначим этот фиксированный множитель через Докажем, что если гладкая функция, то умножение будет регулярным действием над Иными словами, если последовательность фундаментальна, то фундаментальна и

Действительно, поскольку фундаментальна, для всякого интервала лежащего внутри О, существуют порядок и гладкие функции такие, что

Для любого порядка и для любой гладкой функции последовательность вида фундаментальна на Доказательство проводится по индукции. Случай следует из 3.1. Если последовательность рассматриваемого вида фундаментальна для некоторого то она фундаментальна и для поскольку

а правая часть является разностью двух последовательностей, которые фундаментальны в силу 3.2 и индукционного предположения. При мы получаем, что фундаментальна на Поскольку интервал I произволен, последовательность фундаментальна на всем множестве О в силу 3.4. Таким образом, мы доказали, что умножение «а гладкую функцию является регулярным действием.

Согласно общему методу, мы определяем умножение произвольной обобщенной функции на гладкую функцию посредством формулы

При случае мы будем писать также вместо

Заметим, что если функция равна постоянной, то только что определенное умножение совпадает с умножением на число, введенным в параграфе 5.