§ 1. Терминология и обозначения

Если заданы два набора конечных или бесконечных чисел

то мы будем писать

т. и т. т., когда

Аналогично мы пишем

т. ит. т., когда

Если вещественные числа конечны, то

можно рассматривать как точку в -мерном эвклидовом пространстве.

Предыдущее соглашение дает нам возможность обозначить -мерный открытый интервал

неравенствами

в точности так же, как в одномерном случае. Аналогично если , конечны, то -мерный замкнутый интервал

будет обозначаться неравенствами

Под интервалом мы всегда понимаем ограниченный интервал, если не оговорено противное. Как правило, слово "интервал" означает "открытый интервал". Интервал лежит внутри открытого множества От. и т. д., когда замкнутый интервал содержится в .

Мы принимаем обычные обозначения:

где — число.

Функции, определенные на подмножествах -мерного пространства, будут обычно обозначаться символами вместо символов

Все рассматриваемые функции определены, если не оговорено противное, на открытых подмножествах -мерного эвклидова пространства.

Пусть непрерывная функция на интервале — фиксированная точка этого интервала, и пусть набор целых неотрицательных чисел. Интегрируя сначала раз по затем Раз по и т. д., мы получим повторный интеграл порядка

кратко этот интеграл будет обозначаться символом

или, в частном случае , символом

Отметим очевидные формулы:

Бесконечно дифференцируемые функции мы будем называть гладкими функциями. Пусть гладкая функция, набор целых неотрицательных чисел, тогда под производной функции порядка к мы понимаем функцию

Вообще, мы называем порядком любой набор целых неотрицательных чисел. Удобно также пользоваться обозначениями:

Вместо 0 дозволительно писать также 0, что не приводит к недоразумениям.