§ 26. Обобщенные функции, постоянные по некоторым переменным

Обобщенная функция на О называется постоянной по переменным или независящей от когда ее можно представить в виде где гладкие функции постоянны по

Из этого определения непосредственно следует, что

26.1 Если постоянна по то

Обратное утверждение неверно даже для обычных функций в случае произвольного открытого множества О.

Действительно, пусть О — двумерное множество» определяемое неравенством (см. рис. 1), и пусть

(см. рис. 2). Функция непрерывна на и

Легко видеть, что постоянна по 52 на каждом интервале 1 из О, но не постоянна по на всем множестве О.

Рис. 1.

Рис. 2.

Обратное утверждение верно, как для обычных, так и для обобщенных функций, в случае открытого интервала:

26.2. Если при на интервале I, то постоянна по на

В самом деле, для любой -последовательности функций обращающихся в нуль вне имеем на интервале таком, что расстояние от точек из до точек вне I больше, чем Таким образом, гладкие функции постоянны по на Обобщенная функция постоянна по на поскольку

Для произвольного порядка символом мы будем обозначать порядок

Следующая лемма играет основную роль в исследовании обобщенных функций, постоянных по

26.3. Если гладкие функции, постоянные по переменным если для интервала существуют порядок и гладкие функции такие, что

то для всякого интервала лежащего внутри существуют гладкие функции постоянные по переменным и такие, что

Если то положим

Имеем

Повторяя этот прием, мы получим такие гладкие функции что

Функции

постоянны по и удовлетворяют соотношениям

Если то можно сразу же положить , при этом соотношения (1) будут также выполняться.

При мы аналогично получим гладкие функции постоянные по такие, что

Повторяя это рассуждение, мы придем к гладким функциям постоянным по и таким, что

Если число на всех этапах рассуждения достаточно мало, то последние соотношения выполняются на

26.4. Если обобщенная функция постоянная по является на интервале производной порядка от непрерывной функции, то на любом

интервале I, лежащем внутри обобщенная функция является производной порядка от непрерывной функции, постоянной по

Пусть произвольная -последовательность. Если на то гладкие функции

удовлетворяют предположениям леммы 26,3, если в качестве взять интервал, лежащий внутри и содержащий I внутри себя. Таким образом, существуют гладкие функции постоянные по такие, что и на Непрерывная функция также постоянна по Поскольку имеем

26.6. Обобщенная функция является на интервале постоянной по когда на каждом интервале I, лежащем внутри , она является производной от непрерывной функции, постоянной по

Действительно, если на при то на Поскольку интервал I произволен, имеем на всем интервале . В силу постоянна по на

Остающаяся часть теоремы 26.5 следует из 17.4 и 26.4.

Все рассуждения этого параграфа остаются, конечно, справедливыми, если мы заменим на произвольное множество переменных .