§ 14. Дельта-последовательности и дельта-функция

Пусть функция, определенная в параграфе 12; тогда функция

где

будет гладкой, положительной на и обращающейся в нуль вне Кроме того, для нее

Пусть положительные числа, стремящиеся к нулю. Существуют такие гладкие функции неотрицательные при и обращающиеся в нуль в остальной части пространства, что

Существование подобных последовательностей обеспечивается предыдущим примером. Любая последовательность с указанными свойствами будет называться -последовательностью.

Всякая -последовательность фундаментальна. В самом деле, последовательность

сходится равномерно всюду и

Все -последовательности эквивалентны, ибо перемежающаяся последовательность, образованная из двух -последовательностей, в свою очередь является -последовательностью.

Таким образом, -последовательности определяют обобщенную функцию

эта функция называется -мерной -функцией Дирака. Под размерностью понимается размерность переменного

Если гладкай функция, то будет фундаментальной последовательностью, эквивалентной . В самом деле, пусть тогда существует такой номер что для справедливо неравенство

Отсюда

это неравенство показывает, что интеграл в его левой части равномерно сходится к нулю. Значит, и, следовательно,

Поскольку левая и правая части являются фундаментальными последовательностями, определяющими, соответственно, произведения мы имеем формулу

14.1. Пусть дельта-последовательность, а непрерывная функция на О, тогда последовательность гладких функций

сходится к почти равномерно на О.

Действительно, пусть произвольный интервал, лежащий внутри О. Для любого положительного числа существует такой номер что при

Отсюда

Тем самым доказано, что сходится к почти равномерно на O.

Полезно следующее обобщение предложения 14.1.

14.2. Пусть дельта-последовательность, а последовательность непрерывных функций, сходящаяся к почти равномерно на О, тогда последовательность гладких функций

сходится к почти равномерно на О.

Для доказательства заметим, что

где первый член в правой части в силу 14.1 сходится к почти равномерно. Таким образом, достаточно доказать, что последовательность

сходится почти равномерно к нулю. Действительно, пусть произвольный интервал, лежащий внутри О, и пусть — любое положительное число. Тогда для достаточно больших имеем

Мы завершим этот параграф простым замечанием о произведении дельта-функций. Произведение

одномерных -последовательностей является, очевидно, -мерной -последовательностью. Отсюда, согласно определению произведения обобщенных функций с разделенными переменными, мы получаем