§ 25. Многомерная подстановка

Пусть такие гладкие функции, определенные на открытом подмножестве О -мерного пространства, что преобразование

отображает О в открытое подмножество -мерного пространства, и пусть в каждой точке множества О по меньшей мере один из якобианов

не обращается в нуль, т. е.

Мы собираемся показать, что подстановка где гладкая функция, определенная на О, является регулярным действием над фиксировано). Доказательство подобно доказательству аналогичного утверждения в параграфе

Заметим сначала, что если для гладких функций последовательность фундаментальна на некотором открытом множестве, то тем же свойством обладает и последовательность

Действительно, из соотношений

алгебраической выкладкой находим

где

Отсюда

что и доказывает фундаментальность

По индукции получаем, что если последовательность фундаментальна на некотором открытом множестве, то тем же свойством обладает и последовательность для любого порядка к.

Всякая точка из О содержится в некотором интервале лежащем внутри О, который преобразованием отображается внутрь интервала лежащего внутри О. Пусть теперь такие гладкие функции, что для порядка выполняются соотношения

Тогда на значит, последовательность т. е. фундаментальна Согласно фундаментальна на О.

Заметим, что условие на и предыдущее доказательство ?могут быть упрощены, если . В этом случае достаточно иметь дело только с одним якобианом

который должен быть отличен от нуля на О

Мы доказали, что подстановка является регулярным действием. Ее можно поэтому распространить на обобщенные функции определенные на , Положив

При предыдущее определение совпадает с определением параграфа 10. При оно совпадает с определением сдвига в параграфе 8. В случае, когда является непрерывной или локально интегрируемой функцией, обобщенная подстановка совпадает с обычной подстановкой функции в функцию, при условии, что . При в отличие от случая обычных функций, подстановка выполнима не всегда.

Теорема 21.2 остается справедливой и для многомерных подстановок.