§ 15. Обобщенные функции на подмножествах

Всякую обобщенную функцию заданную на открытом множестве О, можно при необходимости рассматривать как обобщенную функцию на любом открытом подмножестве О множества О, поскольку функции любой фундаментальной последовательности, представляющей можно рассматривать как функции на этом подмножестве. Таким образом,

всякая обобщенная функция, определенная на О, определена также и на любом открытом подмножестве множества О.

Когда мы пишем

мы всегда подразумеваем, что открытое множество О содержится в каждом из открытых множеств, на которых определены обобщенные функции и что рассматриваемые как обобщенные функции на О, равны.

Когда же мы пишем просто равенство

мы, если не добавлены специальные пояснения, будем подразумевать, что обобщенные функции, стоящие в обеих частях, равны на пересечении открытых множеств, на которых они определены, и что это пересечение не пусто.

15.1. Если на всяком интервале, лежащем внутри О, то на О.

В самом деле, пусть Равенство на каждом интервале внутри О означает, что удовлетворяют условиям ( на всяком интервале, лежащем внутри интервала, лежащего внутри О, а значит, они удовлетворяют этим условиям и на всяком интервале, просто лежащем внутри О. Таким образом, эти последовательности эквивалентны на О.