§ 2. Равномерная и почти равномерная сходимость

Пусть I — произвольное множество; мы будем говорить, что последовательность функций сходится равномерно на к функции и писать

т. и т. т., когда функция определена на и для любого заданного числа существует такой номер что для любого функция определена на всем множестве I и удовлетворяет на нем неравенству Такии образом, для начальных номеров функции не обязаны быть определены на

Мы пишем

т. и т. т., когда существует такая функция что на Мы будем пользоваться этим обозначением, когда необязательно указывать предельную функцию.

Мы пишем

когда обе последовательности равномерно сходятся на к одному и тому же пределу.

Мы. говорим, что последовательность сходится к почти равномерно на открытом множестве т. и т. т., когда на любом открытом интервале лежащем внутри О. Предельная функция определена на всем множестве О, однако, согласно введенному определению, ни одна из функций не обязана быть определена на всем множестве О. Если открытое множество, на котором определена то для любого интервала лежащего внутри О, существует такое целое число что лежит внутри при