2.5. Статистическая независимость

Условная вероятность — это вероятность появления события (В) в предположении, что произошло событие (А). Пусть теперь эта условная вероятность просто равна безусловной вероятности появления события (В):

В этом случае, в соответствии с равенством (2.12), вероятность появления составного события равна произведению вероятностей событий (А) и (В):

следовательно,

т. е. условная вероятность события (А) в предположении, что произошло событие (В), равна просто безусловной вероятности события (А). Итак, мы видим, что в этом случае сведения о возникновении одного из событий ничего не говорят нам о вероятности появления другого события. События (А) и (В), удовлетворяющие этим соотношениям, называются статистически независимыми событиями.

Если рассматривать более двух событий, то положение существенно усложняется. В качестве примера рассмотрим эксперимент, имеющий четыре несовместимых друг с другом исхода вероятности каждого из которых одинаковы и равны 1/4. Введем, далее, три новых события определяемые следующими соотношениями:

Из несовместимости событий следует, что

и, аналогично, что

Рассмотрим теперь совместное появление событий Поскольку события несовместимы, событие происходит тогда и только тогда, когда происходит событие Поэтому

Аналогично

Вероятности каждого из событий равны 1/2; таким образом, мы показали, что

и, следовательно, события попарно независимы. Заметим, однако, что если мы знаем, что произошли какие-либо два события то мы также знаем, что исходом эксперимента было и, следовательно, третье событие также произошло. Так, например,

Итак, мы видим, что попарная статистическая независимость любой пары событий из заданной системы событий недостаточна для того, чтобы гарантировать нам независимость трех или более из событий этой системы в том смысле, который подсказывает нам наша интуиция. Таким образом, мы должны

расширить наше определение статистической независимости с тем, чтобы оно охватывало также и случай трех и более событий.

Если, в дополнение к попарной независимости, совместные вероятности трех событий предыдущего примера были бы равны произведению вероятностей этих событий, то оказалось бы, что

и аналогично для других условных вероятностей. В этом случае три события можно было бы с полным основанием назвать статистически независимыми. Имея в виду сказанное, мы можем следующим образом определить статистическую независимость системы из N событий:

Определение. N событий называются статистически независимыми, если для всех наборов индексов выполняются следующие соотношения:

Обратимся теперь к экспериментам, исходами которых являются наши события. В частности, рассмотрим случай М экспериментов из которых имеет попарно несовместимых исходов. Всю совокупность исходов мы можем тогда рассматривать при желании как совокупность N событий, где

При этом можно применить предыдущее определение для решения вопроса о том, являются ли эти события статистически независимыми. Интересен, однако, также вопрос о том, являются ли статистически независимыми сами эксперименты. В этом случае применимо следующее определение:

Определение. М экспериментов из которых имеет попарно несовместимых исходов, называются статистически независимыми, если для всякого множества из М целых чисел выполняется следующее соотношение:

Простота данной системы соотношений по сравнению с аналогичными соотношениями для событий — равенствами (2.18) — объясняется тем, что совместные вероятности любых из К экспериментов могут быть получены из совместных вероятностей исходов

К экспериментов. Предположим, например, что мы имеем экспериментов, для которых верны равенства (2.19). Просуммируем эти равенства по Тогда из равенств (2.9) следует, что

Сложив правые части равенств (2.19) и вспомнив, что

мы видим, что если выполняются равенства (2.19), то выполняются также и соотношения

Этот результат представляет собой просто равенство (2.19) для случая экспериментов. Продолжая ту же процедуру, можио показать, что если равенство (2.19) удовлетворяется для М экспериментов, то аналогичные соотношения между вероятностями выполняются также и для любого числа экспериментов.