ГЛАВА V. ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ

§ 28. Атом водорода

Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного ядра с зарядом — целое число) и движущегося вокруг него электрона. При Z > 1 такая система называется водородоподобным ионом; при она представляет собой атом водорода. Потенциальная энергия электрона равна

( — расстояние электрона от ядра). Следовательно, уравнение Шрёдингера имеет вид

( — масса электрона).

Поле, в котором движется электрон, является центральносимметричным. Поэтому целесообразно воспользоваться сферической системой координат: Подставив в (28.1) выражение оператора Лапласа в сферических координатах, придем к уравнению

Можно показать, что уравнение (28.2) имеет требуемые (т. е. однозначные, конечные и непрерывные) решения в следующих случаях: 1) при любых положительных энергиях при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

Случай соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся снова на бесконечность. Случай соответствует электрону, связанному с ядром.

Сравнение с выражением (17.5) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются как следствие основных положений этой науки. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предположения.

Собственные функции уравнения (28.2) содержат три целочисленных параметра :

Параметр , называемый главным квантовым числом, совпадает с номером уровня энергии (см. формулу (28.3)). Параметры представляют собой азимутальное и магнитное квантовые числа, определяющие по формулам (24.6) модуль момента импульса и проекцию момента на некоторое направление .

Решения, удовлетворяющие стандартным условиям, получаются лишь для значений не превышающих Следовательно, при данном квантовое число I может принимать различных значений:

При данном l квантовое число может принимать различных значений:

(см. формулы (24.6)).

Согласно (28.3) энергия электрона зависит только от главного квантового числа . Следовательно, каждому собственному значению энергии (кроме ) соответствует несколько собственных функций отличающихся значениями квантовых чисел . Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. В табл. 28.1 приведены состояния, соответствующие первым трем энергетическим уровням.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.

Кратность вырождения уровней водорода легко вычислить, исходя из возможных значений для . Каждому из значений квантового числа l соответствует значений квантового числа . Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному , равно

Таблица 28.1

Таким образом, кратность вырождения энергетических уровней водородного атома равна (см. табл. 28.1).

Состояния с различными значениями азимутального квантового числа l отличаются величиной момента импульса. В атом» ной физике применяются заимствованные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с называют -электроном (соответствующее состояние — -состоянием), с -электроном, с 2- -электроном, с -электроном, затем идут и т. д. уже по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа Таким образом, электрон в состоянии обозначается символом и т. д.

Поскольку l всегда меньше , возможны следующие состояния электрона:

Схему уровней энергии можно было бы изобразить так, как это было сделано в § 17 (см. рис. 17.1). Однако гораздо удобнее пользоваться схемой, показанной на рис. 28.1. На этой схеме отражено (правда, частично) вырождение уровней, кроме того, она имеет еще ряд существенных преимуществ, которые вскоре станут очевидными.

Мы знаем, что испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. В квантовой механике доказывается, что для азимутального квантового числа l имеется правило отбора

Рис. 28.1.

Это означает, что возможны только такие переходы, при которых l изменяется на единицу. Правило (28.5) обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином равным примерно h (в дальнейшем мы уточним его значение). При испускании фотон уносит из атома этот момент, а при поглощении привносит, так что правило отбора (28.5) есть просто следствие закона сохранения момента импульса.

На рис. 28.1 показаны переходы, разрешенные правилом (28.5). Пользуясь условными обозначениями состояний электрона, переходы, приводящие к возникновению серии Лаймана, можно записать в виде

серии Бальмера соответствуют переходы

Состояние является основным состоянием атома водорода. В этом состоянии атом обладает минимальной энергией. Чтобы перевести атом из основного состояния в возбужденное (т. е. в состояние с большей энергией), ему необходимо сообщить энергию. Это может быть осуществлено за счет теплового соударения атомов (по этой причине нагретые тела светятся — атомы излучают, возвращаясь из возбужденного в основное состояние), или за счет столкновения атома с достаточно быстрым электроном, или, наконец, за счет поглощения атомом фотона.

Фотон при поглощении его атомом исчезает, передавая атому всю свою энергию. Атом не может поглотить только часть фотона, ибо фотон, как и электрон, как и другие элементарные частицы, является неделимым. Поэтому в отсутствие многофотонных процессов, (см. § 44) атом может поглощать только те фотоны, энергия которых в точности соответствует разности энергий двух его уровней. Поскольку логлощающий атом обычно находится в основном состоянии, спектр поглощения водородного атома должен состоять из линий, соответствующих переходам

Этот результат полностью согласуется с опытом.

Собственные функции уравнения (28.2) распадаются на два множителя, один из которых зависит только от , а другой — только от углов и :

Множитель вещественный и зависит от квантовых чисел множитель комплексный и зависит от квантовых Чисел .

Функция представляет собой собственную функцию оператора квадрата момента импульса. Для -состояний электрона (т. е. для состояний с моментом импульса, равным нулю) эта функция является константой, так ЧТО пси-функции вида еависят только от .

Элемент объема в сферической системе координат, равный Можно представить в виде где есть элемент телесного угла. Поэтому условие нормировки функций (28.6) можно написать следующим образом:

( интеграл по берется по полному телесному углу, равному ). Собственные функции оператора предполагаются нормированными; это Означает, что

Следовательно, из (28.7) вытекает условие нормировки функций

Вероятность нахождения электрона в элементе объема определяется выражением

Рис. 28.2.

Проинтегрировав это выражение по полному телесному углу найдем вероятность того, что электрон окажется в тонком шаровом слое радиуса и толщины

Приняв во внимание условие (28.8), получим, что

(28.10)

Из формулы (28.10) следует, что выражение представляет собой плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии от ядра. На рис. 28.2 приведены графики плотности вероятности для атома водорода для состояний: . За единицу масштаба для оси принят боровский радиус (см. 17.4)). Длинными вертикальными черточками отмечены на графиках радиусы соответствующих боровских орбит. Из рисунка видно, что эти радиусы совпадают с наиболее вероятными расстояниями электрона от ядра.