§ 63. Преобразования Лоренца

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета, которые мы обозначим К, и К (рис. 63.1). Пусть система К движется относительно системы К со скоростью Направим оси х и х вдоль вектора оси у и у, а также предположим параллельными друг другу.

В силу принципа относительности системы К и К совершенно равноправны. Единственное формальное отличие их заключается в том, что отсчитанная в системе К иксовая координата начала О системы К изменяется по закону

в то время как отсчитанная в системе К иксовая координата начала О системы К изменяется по закону

Это различие вызвано тем, что направления осей х и х мы выбрали одинаковыми, а системы движутся друг относительно друга в противоположных направлениях.

Поэтому проекция относительной скорости на ось х системы К равна а на ось системы К, равна

В нерелятивистской механике переход от координат и времени одной инерциальной системы отсчета к координатам и времени другой инерциальной системы осуществляется с помощью преобразований Галилея (12.1). Из этих преобразований вытекает закон сложения скоростей: (см. формулу (12.3)).

Рис. 63.1.

Этот закон находится в противоречии с принципом постоянства скорости света. Действительно, если в системе К. световой сигнал распространяется в Направлении вектора со скоростью с, то согласно (12.3) в системе К скорость сигнала окажется равной т. е. превзойдет с. Отсюда следует, что преобразования Галилея должны быть заменены другими формулами. Эти формулы нетрудно найти.

В самом общем виде преобразования координат и времени от системы К к системе К выглядят следующим образом:

Из однородности времени и пространства следует, что формулы (63.3) должны быть линейными, т. е. иметь вид

и т. д., где — константы. Соответственно

и т. д. Действительно, согласно (63.3)

Если взять некоторые произвольно выбранные в точке то, подставив в (63.6) значения производных в данной точке, мы получим для некоторое значение Однако в силу однородности пространства и времени в любой другой точке при тех же значениях должно получаться для такое же значение, как и в первой точке, т. е. должно быть То же самое должно иметь место для Поскольку были выбраны совершенно произвольно, указанное требование может выполняться лишь в том случае, если производные и т. д. не зависят от координат, т. е. являются константами. Отсюда вытекает (63.5), а затем и (63.4).

При указанном на рис. 63.1 выборе координатных осей плоскость совпадает с плоскостью а плоскость — с плоскостью Отсюда следует, что, например, координаты у и у должны обращаться в нуль одновременно, независимо от значений других координат и времени. Поэтому учу могут быть связаны только соотношением вида

где — константа. В силу равноправности систем К и К обратное соотношение должно иметь вид

с тем же значением константы , что и в первом случае.

Перемножив оба соотношения, получим, что откуда Знак плюс соответствует одинаково направленным осям у и у, знак минус — противоположно направленным. Направив оси одинаковым образом, получим

Аналогичные рассуждения приводят к формуле

Обратимся к нахождению преобразований для Из (63.7) и (63.8) следует, что значения у и z не зависят от и t. Отсюда вытекает, что значения не могут зависеть от у и z; соответственно значения и t не могут зависеть от у и z. Таким образом, и t могут быть линейными функциями только

Начало координат О системы К имеет координату в системе К и в системе К. (см. ). Следовательно, выражение должно обращаться в нуль одновременно с координатой Для этого линейное преобразование должно иметь вид

где — некоторая константа.

Аналогично, начало координат О системы К' имеет координату в системе К и в системе К (см. (63.1)). Отсюда следует, что

(63.10)

Из равноправия систем К и К вытекает, что коэффициент пропорциональности в обоих случаях должен быть один и тот же.

Для нахождения коэффициента у используем принцип постоянства скорости света. Начнем отсчет времени в обеих системах от того момента, когда их начала координат совпадают. Пусть в момент в направлении осей посылается световой сигнал, который производит вспышку света на экране, расположенном в точке с координатой в системе К и с координатой в системе Это событие (вспышка) описывается координатой и моментом t в системе К и координатой и моментом в системе К, причем

Подставив эти значения в формулы (63.9) и (63.10), получим

Перемножив оба соотношения, придем к уравнению

Отсюда

(63.11)

Подстановка этого значения в (63.9) приводит к формуле

(63.12)

Формула (63.12) позволяет по известным значениям х и t найти значение х. Чтобы получить формулу, позволяющую по известным значениям х и t найти значение t, исключим из (63.9) и (63.10) координату х и разрешим получившееся соотношение относительно t. В результате получим

Подстановка значения (63.11) для у приводит к следующей формуле:

(63.13)

Совокупность формул (63.7), (63.8) (63.12), и (63.13) носит название преобразований Лоренца. Если применить общепринятое обозначение

(63.14)

преобразования Лоренца примут вид

(63.15)

По формулам (63.15) осуществляется переход от координат и времени, отсчитанных в системе к координатам и времени, отсчитанным в системе К (короче, переход от системы К к системе К). Если разрешить уравнения (63.15) относительно штрихованных величин, получатся формулы преобразования для перехода системы к системе

Как и следовало ожидать, учитывая равноправность систем К и К, формулы (63.16) отличаются от формул (63.15) только знаком при Р, т. е. при

Легко понять, что в случае преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (см. (12.1)). Таким образом, преобразования Галилея сохраняют значение для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в пустоте.

При выражения (63.15) и (63.16) для и t становятся мнимыми. Это согласуется с тем, что движение со скоростью, превышающей скорость света в пустоте, невозможно.

Нельзя даже пользоваться системой отсчета, движущейся со скоростью с, так как при в знаменателях формул для получается нуль.

Преобразования Лоренца имеют особенно простой и симметричный вид, если писать их не для х и t, а для , т. е. для величин одинаковой размерности. В этом случае формулы (63.15). выглядят следующим образом:

(63.17)

Формулу (63.17) легко запомнить, приняв во внимание, что первая из них отличается от «очевидной» формулы наличием в знаменателе характерного для релятивистских формул выражения Последняя формула получается из первой, если поменять местами