ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ

Мы уже ввели понятие линейной группы в предыдущей главе. Линейные группы являются важнейшим объектом изучения в теории групп Ли. Они имеют принципиальное значение также в геометрии и теоретической физике.

§ 8. Полная линейная группа. Экспоненциал

Абстрактное множество А называется алгеброй, если оно является линейным пространством с ассоциативным умножением, причем сложение и умножение связаны обычным дистрибутивным законом. Говорят, что алгебра А является алгеброй с единицей, если в ней существует элемент для которого при любом Множество всех обратимых элементов в алгебре А с единицей, очевидно, является группой. Если, в частности, А - алгебра всех матриц порядка, то таким путем возникает полная линейная группа

В качестве поля мы обычно условимся рассматривать или С. Если ясно, о каком поле идет речь, то мы условимся для краткости обозначать полную линейную группу символом Под топологией в мы будем всегда понимать топологию объемлющего линейного пространства А.

Мы уже использовали в гл. I понятие матричной экспоненты. Эту экспоненту условимся обозначать символом или Имеем

если матрицы х, у перестановочны (в общем случае это не так). Доказательство легко получить перемножением

двух рядов. Функция доставляет нам канонические координаты в группе

Теорема 1. Экспоненциальное отображение ехря, накрывает всю группу над комплексным полем С.

Доказательство. Воспользуемся нормальной жордановой формой матрицы Согласно теории элементарных делителей матрица в некотором базисе может быть приведена к диагонально-блочному виду с блоками вида

где диагональная матрица с единственным собственным значением и треугольная матрица с единицами на главной диагонали. Ограничившись отдельным блоком, мы запишем его в виде

где матрица X кратна единице и матрица описана выше. Заметим, что где матрица нульстепенна при достаточно большом Отсюда следует, что логарифм матрицы может быть определен в виде конечного степенного ряда. В результате

где матрица нульстепенна. В то же время матрица X также может быть записана в виде экспоненты Поскольку матрица кратна единичной, она перестановочна с В результате имеем

Мы показали, что всякая матрица может быть записана в виде экспоненты. Теорема доказана.

Замечание. Над вещественным полем подобная теорема неверна, поскольку даже диагональная матрица X с отрицательными собственными значениями, вообще говоря, не может быть записана в виде экспоненты. Экспоненциальное отображение накрывает лишь некоторую область в

В дальнейшем иногда мы будем использовать хорошо известную формулу Якоби:

Здесь означает след матрицы х, т. е. сумму ее диагональных элементов. (Поскольку детерминант и след не зависят от выбора базиса, то достаточно проверить справедливость этой формулы в том базисе, где матрица х треугольна. Существование такого базиса хорошо известно из теории матриц.) В частности, если то мы имеем

Множество всех матриц порядка с детерминантом, равным единице, обозначается символом Это множество является группой и носит название унимодулярной группы порядка

Согласно общим конструкциям гл. I мы можем заключить, что алгебра Ли совпадает по запасу элементов со всей алгеброй А квадратных матриц Очевидно также, что алгебра Ли выделяется единственным условием Мы обозначим эти алгебры строчными символами соответственно

Согласно общей теории групп Ли всякая замкнутая подгруппа в снова является группой Ли. Если X — соответствующая алгебра Ли, то и коммутатор в X выражается обычной формулой Различные алгебры Ли отличаются в этом случае лишь по запасу элементов. Такие алгебры иногда называются также линейными алгебрами Ли.