ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
Мы уже ввели понятие линейной группы в предыдущей главе. Линейные группы являются важнейшим объектом изучения в теории групп Ли. Они имеют принципиальное значение также в геометрии и теоретической физике.
§ 8. Полная линейная группа. Экспоненциал
Абстрактное множество А называется алгеброй, если оно является линейным пространством с ассоциативным умножением, причем сложение и умножение связаны обычным дистрибутивным законом. Говорят, что алгебра А является алгеброй с единицей, если в ней существует элемент
для которого
при любом
Множество всех обратимых элементов в алгебре А с единицей, очевидно, является группой. Если, в частности, А - алгебра всех матриц
порядка, то таким путем возникает полная линейная группа
В качестве поля
мы обычно условимся рассматривать
или С. Если ясно, о каком поле идет речь, то мы условимся для краткости обозначать полную линейную группу символом
Под топологией в
мы будем всегда понимать топологию объемлющего линейного пространства А.
Мы уже использовали в гл. I понятие матричной экспоненты. Эту экспоненту условимся обозначать символом
или
Имеем
если матрицы х, у перестановочны (в общем случае это не так). Доказательство легко получить перемножением