Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 54. Характеристика неприводимых тензоров в терминах симметрииВернемся теперь к рассмотрению тензоров для группы группы G. Отсюда следует, что свойства симметрии по отношению к группе 5 являются инвариантами по отношению к группе G и могут быть использованы для характеристики инвариантных подпространств. Нашей целью является показать, что этих свойств достаточно также для характеристики неприводимых подпространств. Условимся записывать
Нетрудно видеть, что эти определения эквивалентны, т. е.
для симметризатора Докажем теперь, что имеет место следующая основная Теорема 1. Каждый симметризатор Юнга
где миноры
является максимальным подпространством в
Доказательство. Фиксируем сигнатуру
где, как обычно, положено
где Напомним, что для всякой формы
где базисные орты
Если к схеме типа
Нетрудно видеть, что во всех остальных случаях С другой стороны, рассмотрим вспомогательную форму
Ясно, что полученная форма может быть отлична от нуля только при
Согласно определению формы
(Действительно, только в этом случае схема
где Теперь уже нетрудно завершить доказательство теоремы. Поскольку
Но это означает, что проектор 1) Пусть
Следовательно,
Наконец, согласно свойству полноты, даваемому леммой 5, все пространство 2) Вместо леммы 5 мы можем воспользоваться леммой 1, которая независимо дает условие полноты в классе старших векторов. При этом автоматически учитывается, что следует рассматривать лишь допустимые сигнатуры. Все остальные рассуждения остаются неизменными. Мы опустили пока соотношение между Замечание 1. Циклическая оболочка вектора а относительно группы G может быть определена как совокупность всех тензоров
где Юнга. (Соответственно с Замечание. 2. Циклическая оболочка подпространства относительно группы G может быть охарактеризована как совокупность всех тензоров
где Пример. Положим
В этом случае подгруппы
Множество
Для вычисления
Заметим, что при вычислении Мы оставили еще нерешенной задачу о явном вычислении кратностей
|
1 |
Оглавление
|