§ 29. Ряды Фурье на линейной группе G

Каждой квадратично интегрируемой функции на группе G поставим в соответствие набор ее «коэффициентов Фурье»:

где система нормированных матричных элементов из леммы 5 (нормированных таким образом, чтобы где норма в пространстве Я). Упрощая обозначения, запишем это определение в виде

где означает сложный индекс, составленный из индексов Поскольку значения этого индекса пробегают счетное множество, мы можем осуществить перенумерацию таким образом, чтобы Пусть линейная оболочка векторов Выражение представляет собой «среднее квадратичное отклонение» функции от линейного подпространства Если то мы имеем

Поскольку и коэффициенты зависят только от функции то ясно, что достигается в точности при откуда

где частичная сумма ряда Фурье, и, кроме того,

Допустим вначале, что функция непрерывна, и выберем настолько большим, чтобы при некотором (возможность такого выбора следует из аппроксимационной леммы); тогда мы имеем

Следовательно, при найденном Кроме того, переходя к пределу в получаем равенство Парсеваля:

Наконец, если произвольная функция из Я, то для всякого существует, как известно, непрерывная функция квадратичное отклонение которой от не превосходит следовательно,

и все предыдущие рассуждения снова можно повторить. В результате получена

Лемма 6. Если линейная компактная группа, то для каждой функции ее ряд Фурье сходится к этой функции в среднем квадратичном:

и при этом выполняется равенство Парсеваля:

В заключение заметим, что если произвольные элементы из , то из равенства Парсеваля следует обычное равенство для скалярных произведений:

где коэффициенты Фурье функции Заметим также, что, как следует из проведенного построения, разложение в ряд Фурье определяется однозначно.