ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

В предыдущей главе при рассмотрении тензоров мы видели, что одна и та же линейная группа G допускает гомоморфные отображения в полные линейные группы других размерностей. Представляет интерес изучение таких гомоморфизмов также и в том случае, когда произвольная абстрактная группа; этим занимается теория представлений. Прежде чем начать формальные определения, мы рассмотрим один из важнейших примеров линейного представления.

§ 15. Функции на однородном пространстве

Большинство прикладных задач, решаемых с помощью теории групп, может быть сведено к следующей общей задаче.

Пусть дано некоторое множество X, называемое пространством, в котором действует группа G как группа преобразований. Результат преобразования точки элементом обозначим символом Таким образом, имеем:

Изучение такой ситуации в общем виде является слишком сложной задачей. Если мы желаем получить несколько большую аналогию с группой движений в евклидовом пространстве, то естественно наложить еще одно дополнительное условие:

3° Условие транзитивности: всякая точка может быть переведена в любую другую точку при помощи хотя бы одного преобразования

Если выполняется последнее условие, то говорят, что X является однородным пространством с группой движений G. Если группа G и пространство X топологические, то предполагают также, что непрерывно зависит от пары

Далее, пусть линейное пространство, составленное из функций на множестве Допустим, что вместе с каждой функцией содержит также функцию

при любом значении Тогда преобразования точек в пространстве X порождают семейство линейных преобразований

в линейном пространстве Как следует из этого определения, операторная функция обладает мультипликативным свойством т. е. отображение является гомоморфизмом группы G.

Естественно попытаться разложить пространство в геометрическую сумму «минимальных компонент», инвариантных относительно т. е. классифицировать функции относительно преобразований группы G. В дальнейшем такая постановка задачи будет уточнена. При этом мы условимся говорить, что эта задача является «основной проблемой» теории представлений.

Простейшим примером является классификация функций на окружности по отношению к вращениям окружности:

где угловые параметры (сложение которых понимается по либо, что то же самое, функции считаются периодически продолженными, с периодом на всю числовую ось). Приемами теории групп легко удается установить, что единственными «минимальными компонентами» являются «элементарные гармоники»

для которых

где Отсюда в свою очередь нетрудно получить, что «всякая» функция разлагается в ряд по этим гармоникам. Мы приходим к известной теории Фурье. Вопросы сходимости решаются обычными аналитическими способами.

Изложенная схема построения теории рядов Фурье в действительности может быть обобщена на многие практически важные классы групп Ли. При этом роль элементарных грамоник играют специальные функции, простейшие из которых уже давно играют фундаментальную роль в математической физике. Теория групп позволяет объединить разрозненные данные об этих специальных функциях в единую общую теорию.

В этой книге, как правило, мы не будем заниматься детальной разработкой конкретных вопросов, связанных со специальными функциями. Нашей целью является проследить глубокие алгебраические закономерности, лежащие в основе теории линейных представлений. Линейным представлением (или просто представлением) абстрактной группы G называется ее гомоморфное отображение в группу обратимых линейных операторов произвольного линейного пространства. Примерами являются преобразования в классе тензоров или построенные выше операторы в классе функций на однородном пространстве.

Заметим, что с изложенной выше точки зрения теория рядов Фурье есть спектральный анализ коммутативного семейства операторов . В общем случае операторы как правило, некоммутативны, и это приводит к установлению новых замечательных закономерностей. Вместе с тем вскрываются алгебраические основы теории рядов Фурье, обычных и «обобщенных»; оказывается, что в значительной степени эта теория «алгебраична».

В заключение заметим, что иногда приходится рассматривать пространства, не являющиеся однородными

(преобразования в которых не транзитивны). Иногда удается расслоить такое пространство на транзитивные слои, подобно тому как евклидово пространство расслаивается на концентрические сферы под действием группы вращений. Точнее, мы имеем в виду такое расслоение, при котором каждый слой является замкнутой гиперповерхностью в Можно подумать, что такое расслоение всегда возможно; однако в действительности это не так. Примером являются так называемые «эрго-дические движения», к числу которых относится «иррациональная обмотка тора».

Разворачивая тор на плоскость, мы получим прямоугольник вида с отождествленными противолежащими сторонами либо, что то же самое, всю бесконечную плоскость с отождествлением по решетке где произвольные целые числа. (Два вектора на плоскости отождествляются, если их разность содержится в этой решетке.) Рассмотрим на плоскости однопараметрическую группу преобразований

где фиксированные числа, и затем перенесем ее на тор. (Если точка достигает границы выделенного прямоугольника, то она отождествляется с противолежащей точкой и движение продолжается.) Если числа несоизмеримы, то нетрудно показать, что искомого расслоения не существует. В этом случае траектория каждой точки никогда не возвращается в эту точку и обматывает тор «всюду плотно», т. е. проходит в произвольной близости от любой наперед заданной точки. Следовательно, замыкание этой траектории совпадает со всем двумерным тором.

Описанная конструкция впервые была предложена, по-видимому, Кронекером. Она легко переносится на тор произвольной размерности. Соответствующая группа движений называется иррациональной обмоткой тора.

Наиболее легко изучается тот случай, когда искомое расслоение не только существует, но также порождает «разделение переменных» в параметрическом многообразии Последнее означает, что пространство X

допускает такую параметризацию, при которой часть переменных образует параметры внутри слоя и другая часть переменных (непрерывно или гладко) параметризует семейство слоев. В этом случае задача, очевидно, сводится к изучению однородного пространства, роль которого играет каждый отдельный слой.