§ 38. Матричные элементы группы SU(2)

Для дальнейшего изучения неприводимых представлений группы нам будет удобно записывать эти представления с помощью дробно-линейной подстановки:

Здесь произвольное комплексное число, и подпространство в котором действует представление натянуто на базисные векторы

Напомним, что I — полуцелое или целое число, т. е. является целым. При помощи указанной формулы нетрудно вычислить матричные элементы представления Действительно, матричные элементы

определяются следующей формулой:

Следовательно, есть коэффициент полинома при степени Указанный коэффициент вычисляется с помощью обычной формулы Тейлора:

Действительно, выражение в квадратной скобке есть развернутая запись для полинома Полагая замечаем, что а Следовательно, если вместо переменной ввести переменную оси, то и после подстановок получаем следующий результат:

Действительно, при Введем обозначение

Полиномы отличаются лишь несущественными множителями от хорошо известных полиномов Якоби. В результате получаем

До сих пор мы нигде не использовали унитарность матрицы Следовательно, полученный результат справедлив для (и даже для ). Предполагая теперь унитарность и унимодулярность получаем следующую систему соотношений на параметры матрицы

Следовательно, вполне определяется элементами расположенными в первой строке, для которых Мы положим В результате получаем систему независимых параметров для которых В этих параметрах имеем

Мы теперь имеем право рассматривать под знаком полинома как независимый параметр в нашей группе В результате получена следующая

Теорема 4. Матричные элементы выражаются указанной выше формулой через полиномы Якоби. Эти элементы нормированы условием Полагая

получаем систему элементов, которые имеют одинаковую норму в при фиксированном старшем весе I:

Последнее утверждение вытекает из замечания 5 в конце предыдущего параграфа (переход к унитарному базису в пространстве представления) и выражения для нормы даваемого глобальной теоремой.

Замечание 1. Мера Хаара в условиях теоремы 4 нормирована так, что мера всей группы равна единице. В параметрах эта мера, как легко

проверить, имеет следующий вид:

Замечание 2. Общая формула для хороша своей общностью и компактностью записи. Однако при малых для нахождения матричных элементов несравненно проще непосредственно вычислять разложение полинома по базисным элементам Например, при таким путем легко получаем

Столбцы этой матрицы являются коэффициентами при в разложении по степеням полиномов Аналогично при получаем

Отсюда легко получить выражения матричных элементов через параметры Элементы получаются перенормировкой.

Замечание 3. Рассматривая матрицу вычисляя на базисных элементах, легко находим

где означает символ Кронекера. Отсюда вытекают соотношения симметрии, которые имеют одинаковый вид для матриц В частности, если условимся записывать вместо то мы найдем

Указанные равенства выражают в параметрах следующие соотношения: Аналогично, если вместо матрицы

рассмотрим матрицу то получим

Комбинируя полученные соотношения, можно выписать еще другие свойства симметрии для матричных элементов Кроме того, представляет интерес рассмотрение элемента Вейля для которого, как мы знаем, Вычисляя матрицу с одной стороны, как с другой стороны, как находим

До сих пор мы не учитывали унитарности матрицы Если унитарна, где черта означает комплексное сопряжение. Следовательно,

Если заметить, что (это очевидно из рассмотрения тензоров), то последнее равенство можно записать также в следующей форме:

Отсюда для получаем еще одну дифференциальную формулу:

Выясним теперь связь полученных функций с представлениями группы вращений Заметим, что введенная нами параметризация группы равносильна

следующему разложению:

где означает диагональную матрицу с собственными значениями означает матрицу вида

Используя правило соответствия между (§ 11), легко проверяем, что являются обычными углами Эйлера. Условившись записывать трехмерные векторы в виде строк, мы получаем преобразования в виде где трехмерный вектор. Полагая

мы можем, в частности, рассматривать сферу Как мы видели в § 17, эта сфера отождествляется с фактор-пространством где и подгруппа поворотов вокруг оси ). Для перехода от достаточно положить Согласно теореме 2 гл. IV мы получаем следующий результат:

Следствие. Функции можно рассматривать как функции на сфере в трехмерном евклидовом пространстве. Эти функции образуют полную ортогональную систему в гильбертовом пространстве

Действительно, матричный элемент не зависит от параметра только при Заметим, что мера Хаара может быть записана в виде

где обычная (инвариантная) мера на сфере Пространство определяется по отношению к этой мере. При этом согласно теореме 4 мы имеем

Этим однозначно, с точностью до множителя, по модулю равного единице, определяется нормировка функций Нетрудно видеть, что функции У являются обычными сферическими функциями.

Функции также бывают полезны при изучении векторных полей на сфере ([1], [71]). Эти функции называются шаровыми функциями на

В заключение этого параграфа покажем, как при помощи теории представлений можно непосредственно построить теорию сферических функций на сфере Пусть трехмерное вещественное

евклидово пространство с метрикой Положим и рассмотрим представление группы G в пространстве полиномов Здесь, как и выше, вектор записывается в виде строки и умножение означает умножение строки х на матрицу Выбирая в группе G однопараметрические подгруппы, соответствующие вращениям вокруг осей находим соответствующие инфинитезимальные операторы представления

Из этих операторов составим оператор Казимира:

который перестановочен со всеми операторами Путем несложных вычислений (учитывающих некоммутативность находим для этого оператора следующее выражение:

Здесь оператор Лапласа означает оператор Эйлера символом обозначен оператор умножения на Покажем, как при помощи оператора Казимира можно произвести спектральный анализ представления

Рассмотрим подпространство всех однородных полиномов степени I. Это пространство инвариантно относительно Поскольку это подпространство конечномерно, то оно вполне приводимо относительно Те. На каждом неприводимом подпространстве оператор С, согласно лемме Шура, должен быть кратен единичному: С другой стороны, в силу однородности оператор Эйлера

тоже кратен единичному: где I — степень однородности. Следовательно,

для каждого вектора лежащего в неприводимом подпространстве. Следовательно, каждый такой вектор является собственным относительно оператора

В частности, пусть подпространство всех гармонических полиномов степени однородности I. Если то и в этом случае Отсюда следует, что представление в может содержать неприводимые представления только со старшим весом I. Поскольку, как легко проверить, то в действительности неприводимо.

Замечание 4. Мы показали, что всякое неприводимое представление группы с целым старшим весом может быть реализовано в классе гармонических полиномов

Далее, в пространстве существуют подпространства вида Нетрудно проверить, что все они по-прежнему неприводимы и содержат старшие веса Из сравнения размерностей получаем следующее тождество:

Это означает, что всякий однородный полином разлагается по гармоническим полиномам с коэффициентами, зависящими от Полагая заключаем, что всякий полином разлагается на сфере по гармоническим полиномам. Значение гармонического полинома на сфере называется сферической функцией.

Мы получили теорему полноты для сферических функций в классе полиномов на 5. Отсюда обычным образом следует теорема полноты в классе непрерывных функций на а также теорема полноты в классе