§ 57. Гармонический осциллятор

В заключение этой главы изложим еще одну замечательную алгебраическую конструкцию, которая первоначально возникла в теоретической физике. Вместо группы G мы будем рассматривать ее алгебру Ли

Пусть образующие в некоторой абстрактной алгебре с соотношениями коммутации

где символ Кронекера. Предполагается также, что алгебра содержит единицу. Коммутативные подалгебры, порожденные элементами обозначим соответственно

Элементы называют в теоретической физике операторами Бозе. Операторы называются операторами рождения, операторы а операторами уничтожения. Квадратичный элемент

называется оператором числа частиц. Подобная система операторов описывает квантовомеханическую модель» называемую -мерным гармоническим осциллятором. Положим теперь

Нетрудно проверить, что операторы удовлетворяют стандартным соотношениям коммутации алгебры Таким образом, алгебра X может быть вложена в

Далее, пусть бесконечномерное векторное пространство, в котором действует циклическое представление алгебры При этом предполагается, что роль циклического вектора играет вектор для которого

Иначе говоря, вектор аннулируется всеми операторами уничтожения. В физике вектор называется

вектором вакуума (состоянием вакуума). Условие цикличности записывается следующим образом:

Нетрудно видеть, что Иначе говоря, при помощи соотношений коммутации можно каждый элемент разложить по одночленам, у которых все множители а,- сгруппированы слева и множители сгруппированы справа. Но тогда очевидно, что

Следовательно, является циклической оболочкой вектора по отношению к полиномам содержащим только операторы рождения. При этом существенно, что алгебра является коммутативной.

Как следует из последнего замечания, представления указанного типа действительно существуют. В самом деле, мы можем заранее положить предполагая, что между векторами

не существует никаких линейных зависимостей. Иначе говоря, пространство отождествляется с алгеброй всех полиномов от коммутативных символов Действие операторов определяется очевидным образом. В дальнейшем мы будем иметь в виду именно указанные представления. Поскольку то получаем также представление алгебры

Займемся разложением этого представления на неприводимые. Прежде всего, заметим, что каждый вектор к является весовым:

Несложная проверка предоставляется читателю. Далее, покажем, что вектор может быть старшим только при условии Действительно, если содержит хотя бы один сомножитель то он не аннулируется оператором С другой стороны,

если положим

то вектор сот аннулируется всяким повышающим оператором Далее, пусть подпространство всех векторов для которых Нетрудно видеть, что инвариантно относительно алгебры X. Поскольку конечномерно,то оно вполне приводимо. Поскольку содержит лишь единственный (с точностью до множителя) старший вектор (от, то оно неприводимо.

Таким образом, мы получаем, что в пространстве В содержатся, причем однократно, все неприводимые представления алгебры X с сигнатурами Этим завершается спектральный анализ пространства Заметим также, что оператор

сводится в подпространстве к умножению на Оператор К интерпретируется также как «массовый оператор» или «оператор массы — энергии».

Если сопоставить этот результат с рассмотрениями предыдущего параграфа, то не должно показаться удивительным, что мы получили в спектре только представления вида Действительно, реализация в пространстве равносильна реализации в классе полиномов от одной числовой строки Если мы желаем получить все остальные сигнатуры, то придется рассматривать по крайней мере строк (впрочем, для получения сигнатур вида достаточно рассматривать строк).

Исходя из последнего замечания, мы приходим к следующему обобщению нашей конструкции. Будем считать, что алгебра содержит образующих с соотношениями коммутации

Алгебра X состоит в этом случае из операторов При этом, как и прежде, где порождаются соответственно только элементами Массовый оператор определяется формулой

Повторяя почти дословно предыдущие построения, получаем бесконечномерное представление алгебры в пространстве с циклическим вектором для которого Спектральный анализ этого представления уже не производится столь элементарно, однако достаточно воспользоваться результатом теоремы 3.

В результате получаем новую реализацию всех неприводимых представлений целые числа). Хотя такая реализация вполне аналогична реализации предыдущего параграфа, она в отдельных случаях может оказаться более удобной для символической записи действия инфинитезимальных операторов . К этому вопросу мы еще вернемся в гл. X.

Изложенная нами символическая конструкция допускает также весьма простую функциональную реализацию. Для этого достаточно положить

где независимые вспомогательные переменные. Определяя вектор вакуума по формуле

мы отождествляем пространство с пространством всех функций вида где произвольный полином от При этом массовый оператор К

отождествляется с оператором Гамильтона

для системы из -мерных гармонических осцилляторов.

В заключение отметим, что массовый оператор перестановочен со всеми операторами и потому согласно лемме Шура кратен единице в подпространстве каждого неприводимого представления. Однако в общем случае этот оператор уже «не разделяет точек спектра», т. е. принимает одно и то же числовое значение на подпространствах с разными сигнатурами. Действительно, можно показать, что этот оператор сводится к умножению на во всем пространстве однородных полиномов степени Фундаментальным вопросом о разделении точек спектра мы займемся в следующей главе.

Диаграммы Юнга первоначально возникли в связи с непосредственным изучением группы S ([148]). Г. Вей ем [10] показана роль симметризаторов Юнга изучении тензоров для При этом существенно используется «принцип взаимности» между при помощи которого получаются основные результаты (включая свойство полной приводимости для тензорных преобразований Наше изложение отличается явным использованием старших векторов, что позволяет получить достаточно ясную картину разложения без помощи группы (§ 51); однако, лишь привлечение группы позволяет построить проекторы на неприводимые подпространства. Использование метода Z-инвариантов и доказательство теоремы 3 излагаются согласно [84]. Алгебраическая схема с операторами Бозе была предложена в работах В. Баргмана и М. Мошинекого [149], Мощи некого [155]. См. также [154].