§ 74. Весовая диаграмма d(a)

Мы уже отмечали при вычислении характеров, что функция представляет собой сумму всех весов представления записанных мультипликативно:

Здесь — кратность вхождения веса К. Если К не содержится в спектре то мы полагаем Положим

Таким образом, есть неотрицательная целочисленная функция, отличная от нуля только в точках спектра Мы называем эту функцию (см. § 44) весовой диаграммой

Вместо группы удобно рассматривать поскольку «геометрические свойства» спектра при этом, в сущности, не меняются. Полагая мы получаем систему параллельных гиперплоскостей в -мерном пространстве. Для группы весовая диаграмма не зависит от при условии параллельного переноса

В частности, мы можем положить и рассматривать весовую диаграмму только на этой гиперплоскости.

Первая формула Вейля дает нам непосредственный способ для вычисления весовой диаграммы, однако, к сожалению, слишком сложный. Действительно, деление в § 73 практически легко производится в общем виде лишь при Полагая для группы мы имеем

Заметим, что где параметры сигнатуры а. В гл. V мы положили где I — полуцелое или целое число. Следовательно, Заметим также, что В результате

где положено Для вычисления весовой диаграммы достаточно заметить, что

Мы снова получаем хорошо известный результат (гл. V): весовая диаграмма отлична от нуля только в точках (при соответствующем выборе масштаба), и в этих точках она равна единице. Очевидно, что, и обратно, знание весовой диаграммы позволяет

в данном случае получить выражение для характера элементарным способом, без привлечения теории интегрирования.

Рассмотрим теперь случай т. е. Весовую диаграмму мы будем рассматривать на плоскости Спроектируем на эту плоскость оси так, чтобы их положительные направления расположились под углом 120°. Тогда вся плоскость разбивается на шесть секторов с вершинами в начале координат и с углами 60° (рис. 3).

Рис. 3.

Пусть проекции единичных векторов, направленных вдоль соответственно. Всякий вес изображается точкой вида где произвольные целые числа. Действительно, всякий вес есть проекция на нашу плоскость трехмерного вектора с целочисленными координатами Заштрихованный сектор выделяется условием только в этом секторе могут располагаться старшие веса.

Напомним теперь, что всякий вес представления может быть записан в виде , где корни в алгебре неотрицательные целые числа. Вычитанию вектора со 1 соответствует горизонтальное движение налево на нашей диаграмме, и вычитанию вектора соответствует движение по направлению

Напомним также, что диаграмма весов должна быть симметрична относительно группы Вейля. В нашем случае группа Вейля порождается отражениями относительно осей

Для построения весовой диаграммы мы используем реализацию на группе Z. Согласно общим

результатам гл. VII пространство представления натянуто на векторы

где — некоторые константы и — функции на группе Z, связанные соотношением

Действительно, мы полагаем (в обозначениях

Полином разлагается по одночленам от при этом, учитывая формулу мы можем понижать степени этих одночленов, заменяя на Следовательно, разлагается по одночленам вида

где положено Действительно, указанная выше операция понижения приводит к одному из этих одночленов. Для одночленов мы имеем следующие ограничения на показатели:

Точно так же для одночленов мы имеем ограничения

С другой стороны, используя индикаторную систему легко проверяем, что все одночлены с такими ограничениями сами содержатся в пространстве представления Поскольку эти одночлены линейно независимы, мы получаем базис в пространстве представления

Теперь остается найти веса всех базисных одночленов. Отнесем одночлен к серии если и введем для него в этом случае обозначение

Одночлены отнесем соответственно к сериям Заметим, что

Одночлены являются мультипликаторами на группе Z в смысле гл. При этом первым двум из них отвечают соответственно мультипликаторы в классе весов, а последним двум отвечает один и тот же мультипликатор Иначе говоря, умножению на отвечает вычитание векторов (соответственно), в то время как умножению на отвечает вычитание одного и того же вектора

Рис. 4.

Используя все эти правила и ограничения на показатели нетрудно завершить наше построение. Фиксируем точку в заштрихованном секторе на рис. 3 и построим шесть точек где элемент группы Вейля. Соединяя все эти точки прямыми линиями, получаем, как показано на рис. 4, выпуклый шестиугольник. Умножение на соответствует движению вдоль пунктирной линии в направлении от Умножение на равносильно вычитанию вектора где Полагая подучаем соответствующие кратности весов:

Действительно, для вычисления этих кратиостей достаточно найти число мультипликаторов с фиксированной суммой При этом учитываются ограничения Отсюда легко получить, что (максимальное из чисел, для которых точка еще является весом) и Аналогично производится вычисление весов для всех остальных мультипликаторов При этом сериям отвечают на рис. 4 точки лежащие в областях соответственно.

Окончательный результат выглядит следующим образом. Соединим вершины объединенные попарно, отрезками прямых линий. Тогда

в пересечении образуется треугольник, который обозначим Кратность равна единице на границе всего шестиугольника, возрастает линейно (с шагом единица) при движении к центру и принимает максимальное постоянное значение на треугольнике (внутри и на его границе). Это максимальное значение есть

Нетрудно также выделить линии уровня они представляют собой систему вложенных шестиугольников, которые, начиная с некоторого момента, вырождаются в треугольники и (в некоторых случаях) даже в точку. Для доказательства достаточно заметить, что движение от а к а осуществляется мультипликатором х и движение от а к осуществляется мультипликатором х. Применение таких мультипликаторов не изменяет кратности.

На рис. 5 приводится весовая диаграмма в случае ). В этом случае Кратности указаны цифрами у линий постоянства. Эти кратности равны 1 вдоль внешнего шестиугольника, 2 вдоль следующего шестиугольника, 3 вдоль треугольника и 3 в начале координат.

В общем случае нетрудно показать, что линии постоянства выделяются уравнениями вида где положено

для вектора хзез. В той части, где кратность меняется линейно, она задается формулой

Здесь сигнатура представления. Максимальное значение кратности в области постоянства было приведено ранее.

Предлагается в качестве упражнения получить описание весовой диаграммы для другим способом, используя сужение на

Тем самым в случае мы получаем окончательный результат. Характер и кратности вычисляются элементарным способом.

Рис. 5.

Разумеется, и в общем случае метод Z-мультипликаторов дает известную информацию о весовой диаграмме, но структура этой диаграммы является значительно более сложной.

Мы вернемся к данному вопросу в гл. XVII. Пока займемся описанием еще одного аналитического выражения для характера произвольной группы

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)