§ 133. Сужение SU(n)/SO(n)

В этом параграфе будет рассмотрен лишь частный случай Другой частный случай с произвольным будет рассмотрен в следующем параграфе. Заметим, что задача, которая здесь рассматривается, относится к классу «нерегулярных» вложений.

Используя аналитическое продолжение, мы приходим к задаче сужения где В дальнейшем полагается Ортогональная группа сохраняет квадратичную форму Подгруппа состоит из матриц

Дополнительное многообразие Z нам будет удобно параметризировать следующим образом:

Перемножая эти матрицы, получаем произвольный элемент группы

Следовательно, являются параметрами в группе Z. Формулы выражают эти параметры через элементы матрицы Напомним, что группа имеет два главных сдвига. Первый из них задается формулами

откуда (с точностью до малых второго порядка по ) мы имеем в параметрах

Отсюда возникает инфинитезимальный оператор Точно так же, рассматривая второй главный сдвиг, получаем оператор Заметим теперь, что искомые Z-инварианты не зависят от Следовательно, в классе этих полиномов мы имеем следующие два оператора:

В частности, второе индикаторное уравнение сводится к ограничению на степень а.

Замечание. Может показаться странным, что нарушена симметрия между вектором и бивектором. Однако замена переменных приводит наши операторы к виду

Первое индикаторное уравнение сводится теперь при новом выборе переменных к ограничению на старшую степень а.

Мы можем упростить решение индикаторной системы, если сразу будем искать только весовые решения. Заметим, что группа содержит лишь один мультипликативный параметр Произвольный вес мы запишем в виде Переменные условимся рассматривать как мультипликаторы в пространстве представления. Иначе говоря, всякий искомый старший вектор запишем в виде

где — старший вектор исходного представления группы G. Нетрудно видеть, что мультипликатору а отвечает вес и мультипликатору вес Отсюда следует, что всякий весовой мультипликатор имеет вес где неположительно. Условимся такой мультипликатор называть четным или нечетным в зависимости от четности или нечетности

Исходное представление группы G запишем в виде вектор, бивектор). Рассмотрим отдельно четные и нечетные мультипликаторы.

1° Четные мультипликаторы. Всякий четный мультипликатор разлагается только по следовательно, может быть записан как полином от где у — введенная выше вспомогательная переменная. Пусть старшие степени этого полинома по переменным Поскольку и первое индикаторное уравнение в переменных а, у имеет вид

то мы получаем ограничения

Точно так же соотношение и второе индикаторное уравнение в переменных приводят к ограничению В результате получаем

Правило 1. Всякий четный мультипликатор является полиномом от переменных

степени не выше по и степени не выше по у.

2° Нечетные мультипликаторы. Всякий нечетный мультипликатор мы можем представить в виде где -четный мультипликатор. Повторяя предыдущие рассуждения, заключаем, что имеет место

Правило 2. Всякий нечетный мультипликатор может быть получен умножением переменной

на полином от степени не выше по и степени не выше по у.

Для вычисления кратности с которой входит мультипликатор веса достаточно найти число одночленов вида (при четном или число одночленов вида (при нечетном Здесь неотрицательные целые числа, ограниченные сверху значениями (при четном (при нечетном Искомая кратность равняется числу целочисленных точек (обе координаты целочисленны), лежащих на линии или внутри и на границе прямоугольника Так, при четном график кратностей имеет вид, изображенный на рис. 7. Параметры этой трапеции легко вычисляются из указанного выше прямоугольника. Точно так же при нечетном график имеет вид трапеции с вертикальной

осью симметрии. При этом общий график кратностей получается наложением двух указанных трапеций.

Символически удобно использовать «суммарный мультипликатор» Искомая спектральная формула получается применением этого мультипликатора к исходному старшему весу

Здесь в правой части каждое слагаемое рассматривается как символ неприводимого представления группы со старшим весом Выражение в правой части означает прямую сумму таких неприводимых представлений.

Рис. 7.

Пример 1. Положим этом случае имеется три четных мультипликатора сооо, Нечетные мультипликаторы отсутствуют. В результате

Пример 2. Положим В этом случае имеются те же четные мультипликаторы, что и в предыдущем примере, и, кроме того, три нечетных мультипликатора В результате

Пример 3. Положим Четные мультипликаторы » Нечетные мультипликаторы: В результате

Нетрудно выписать также и общую формулу для кратностей. Однако результат гораздо более нагляден из графика и рассмотренных примеров.