§ 44. Комплексная оболочка U(n). Веса и корни

Проиллюстрируем метод аналитического продолжения на примере группы Поскольку эта группа неодносвязна, нам будет удобно рассматривать вначале ее подгруппу которая получается удалением всего лишь одного вещественного параметра. При этом односвязная группа является правильной комплексной оболочкой группы Ввиду односвязности все рассматриваемые ниже представления будут однозначными. Мы также не оговариваем особо, что все изучаемые представления являются конечномерными. Из обоих результатов, полученных в этой главе, для нашего случая вытекают следствия:

1° Все аналитические неприводимые представления группы конечномерны (и однозначны).

2° Для описания всех неприводимых представлений группы достаточно перечислить все аналитические неприводимые представления группы

Мы займемся решением последней задачи. В этом параграфе будет дано лишь предварительное исследование инфинитезимальной структуры представления. Мы убедимся, что инфинитезимальный метод приводит в данном случае к значительным трудностям. Полное решение задачи будет получено в следующей главе совершенно иначе (глобальным) путем. Тем не менее инфинитезимальная трактовка является чрезвычайно наглядной, и это побуждает нас изложить ее достаточно подробно.

Положим Напомним, что X состоит из всех комплексных матриц и

подалгебра выделяется условием Элементы

образуют базис в алгебре X, элементы образуют базис в подалгебре Поскольку то мы имеем следующие соотношения коммутации:

Мы представим эти соотношения значительно более наглядно, если выделим отдельно элементы для которых Получаемые системы элементов обозначим символами

Пусть линейные оболочки базисных векторов из соответственно. Как нетрудно видеть, для элементов системы единственными нетривиальными соотношениями коммутации являются соотношения

Отсюда, в частности, следует, что является подалгеброй. Точно так же является подалгеброй. Множество является абелевой подалгеброй. Полагая имеем также

Это означает, что каждый вектор является собственным относительно линейного оператора Собственные значения мы условимся называть корнями алгебры Все сказанное остается в силе также и для алгебры если положим

Перейдем к изучению аналитических (конечномерных) представлений группы и ее подгруппы Пусть такое представление и

его дифференциал. Положим

В частности, операторы и их линейные комбинации являются инфинитезимальными операторами диагональной подгруппы в Используя принцип аналитического продолжения, легко получаем отсюда:

I. Операторы и их линейные комбинации одновременно диагонализуются в пространстве представления.

Действительно, пусть V — пространство представления. Пространство V вполне приводимо относительно подгруппы всех диагональных унитарных матриц, и каждое неприводимое подпространство одномерно. Производя аналитическое продолжение, получаем то же утверждение для подгруппы всех диагональных матриц из Но тогда то же верно и для инфинитезимальных операторов этой подгруппы. Наше утверждение доказано.

II. Собственное значение оператора является линейной формой на алгебре

Доказательство очевидно линейно зависит от Каждое собственное значение называется весом представления Иногда, если это не будет вызывать недоразумений, мы будем называть весом набор коэффициентов Вектор собственный относительно всех операторов называется также весовым.

III. Если вектор является весовым с собственным значением X, то вектор также является весовым с собственным значением соответствующий корень).

Доказательство проводится так же, как и в случае группы Замечая, что получаем Заметим, что если рассматривать как вектор коэффициентов формы то мы имеем

где означает базисный вектор в -мерном векторном пространстве Н. При этом мы имеем а где в правой части имеется в виду обычное скалярное произведение в пространстве Мы получаем значительную информацию о спектре представления Пусть произвольная матрица подстановки в группе Если вектор является весовым с собственным значением X, то вектор также является весовым с собственным значением

Действительно, если подстановка, то для всякой диагональной матрицы где означает также диагональную матрицу с переставленными собственными значениями. Следовательно, также где положено Применяя это соотношение, легко получаем нужное утверждение. Заметим, что оператор (в отличие от всегда является обратимым, и отсюда вытекает, что собственные значения всегда имеют одинаковую кратность. Действительно, отображение сохраняет размерность подпространства собственных векторов с фиксированным собственным значением.

С учетом замечания о кратностях сформулируем полученный результат в несколько иной форме. Заметим, что множество всех подстановок образует конечную подгруппу в группе (симметрическую группу порядка Эта группа будет называться группой Вейля. С другой стороны, пусть множество всех весов представления с соответствующими кратностями, т. е. график функции где кратность веса Нами доказано следующее утверждение:

V. Весовая диаграмма инвариантна относительно группы Вейля.

Следующий важный шаг состоит во введении лексикографической упорядоченности в множество весов. Заметим вначале, что всякий вес имеет вещественные координаты. Действительно, если содержится в алгебре Ли унитарной подгруппы то

координаты V в разложении Рен должны быть чисто мнимыми и показатели в экспоненте должны быть вещественными. Для каждой пары вещественных векторов полагаем если либо либо но Конечное множество весов в диаграмме А становится при этом вполне упорядоченным.

Заметим, что корни также имеют вещественные координаты в базисе Используя для этих корней понятие лексикографической упорядоченности, получаем следующий результат:

Кроме того, при Таким образом, разбиение корней на отрицательные, нулевые и положительные соответствует разбиению базиса на подсистемы во, Соответственно мы видим, что

Здесь собственное значение весового вектора Оператор мы будем теперь называть понижающим, если и повышающим, если Пусть максимальный из весов в диаграмме А. Тогда Соответствующий вектор обращается в нуль всеми повышающими операторами

Действительно, если бы вектор а не обладал указанным свойством упорядоченности, то, применяя преобразования группы Вейля, мы получили бы вес удовлетворяющий этим свойствам. При этом что противоречило бы условию максимальности веса а. Очевидно, также, что так как повышение веса невозможно.

Полученный результат делает естественным следующее определение. Если неприводимо, то скажем, что а является старшим весом и соответствующий

вектор старшим вектором этого представления. В силу правила цикличности все пространство V является циклической оболочкой вектора относительно полиномов от операторов Из соотношений коммутации ясно также, что достаточно рассматривать полиномы от понижающих операторов (поскольку повышающие операторы аннулируют С помощью таких операторов можно построить базис в пространстве однако эта задача имеет нетривиальное решение.

В дальнейшем мы увидим, что старший вектор в неприводимом представлении определяется однозначно с точностью до множителя и старший вес а характеризует это представление с точностью до эквивалентности.