§ 126. Операторы Казимира

Пусть А — полупростая комплексная алгебра Ли и X — ее универсальная обертывающая алгебра. Как мы видели в гл. IX, центр 3 алгебры X отождествляется с алгеброй всех полиномов над алгеброй X, инвариантных относительно присоединенного представления. Согласно теореме Шевалле, доказанной в предыдущем параграфе, мы можем также отождествить алгебру 3 с алгеброй всех полиномов над инвариантных относительно группы Вейля. (Оба эти соответствия линейны, но не мультипликативны.) Элементы алгебры 3 мы будем называть центральными или операторами Казимира алгебры

Если с — произвольный элемент из алгебры инвариантов то соответствующий оператор Казимира мы

обозначим символом С. Построение оператора С по данному с производится следующим образом. Инвариантный полином продолжается (по теореме Шевалле) до полинома на алгебре X, инвариантного относительно присоединенного представления. Если произвольный базис в алгебре X, то полином выражается через ковариантные числовые координаты: после чего полагается

Пусть произвольное неприводимое конечномерное представление алгебры оператор Казимира в этом представлении. Тогда, как мы знаем,

т. е. оператор Казимира сводится к умножению на число с Функцию мы называем собственным значением оператора Казимира; согласно построению она вполне определяется полиномом

Теорема 7. Собственное значение всякого оператора Казимира является полиномом от Функции и имеют один и тот же однородный член старшей степени однородности:

где многоточие означает сумму слагаемых меньшей степени однородности. Функция с как полином от полусумма положительных корней), инвариантна относительно группы Вейля.

Доказательство. Воспользуемся разложением Картана — Вейля в алгебре X (§ 119). Пусть старшая степень однородности в многочлене произвольный одночлен из имеющий степень Используя для разложение Картана — Вейля, мы можем записать (с точностью до слагаемых меньшей степени однородности)

где корни положительны и одночлен от базисных векторов в . Поскольку является инвариантом присоединенного представления, то, в

частности, он является весовым вектором веса нуль относительно подалгебры Следовательно,

Рассмотрим теперь произвольное конечномерное представление Поскольку оператор С является скаляром в то для вычисления с достаточно применить оператор С к старшему вектору Пусть оператор, отвечающий одночлену Тогда мы имеем если Следовательно, ненулевой вклад вносят только те слагаемые для которых Но тогда и (в силу соотношения между корнями, указанного выше). Следовательно, если -сумма собственных значений всех одночленов степени однородности на векторе то

где - сумма собственных значений тех одночленов для которых Для выделения этих одночленов достаточно символы заменить нулями, что равносильно (ввиду ортогональности сужению полинома на подалгебру Наконец, очевидно, что является полиномом от , поскольку где — линейная форма над

Продолжая эти рассуждения для всех остальных однородных компонент, заключаем, что с является полиномом и полиномы с имеют общий старший член

Для завершения доказательства осталось показать, что с где полином инвариантен относительно группы Вейля. Рассмотрим вместо соответствующее представление односвязной группы G с алгеброй Ли Реализуя в классе матричных элементов на группе мы рассмотрим, в частности, характер который, как линейная комбинация матричных элементов сигнатуры а, должен быть

собственным вектором оператора С с собственным значением с (к):

Нам будет удобно далее сделать унитарное ограничение, т. е. считать, что где максимальная компактная подгруппа в группе G. Полагая где у пробегает максимальный тор, мы видим, что зависит только от у (действительно, является функцией классов). Следовательно,

где С — дифференциальный оператор относительно канонических координат элемента Положим согласно формуле Вейля где кососимметрические функции от и введем обозначение Тогда мы имеем

Здесь А — дифференциальный оператор по параметрам Напомним, что Заменяя на мы сохраняем функцию с точностью до знака. Следовательно, Теорема доказана.

Замечание 1. В формулировке теоремы предполагалось, что С — симметризованный оператор Казимира, т. е. полином выражается через базис с помощью симметричных тензорных коэффициентов. Однако в действительности это ограничение излишне. В самом деле, как мы видели в гл. IX, всякий полином и его симметризованная форма имеют одно и то же слагаемое старшей степени однородности.

Замечание 2. Если С — квадратичный оператор Казимира, то, как легко проверить, соотношение использованное в доказательстве теоремы 7, устанавливает связь между радиальной частью С оператора С и формальным лапласианом А, введенным в

§ 123. Оказывается также, что в общем случае оператор А является дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами по инвариантным относительно группы Вейля. Это позволило Ф. А. Березину [49] дать полное описание радиальных частей операторов Казимира.

Следствие 1. Алгебра собственных значений с изоморфна алгебре всех полиномов над инвариантных относительно группы Вейля.

В свою очередь отсюда получаем

Следствие 2. Алгебра 3 операторов Казимира изоморфна алгебре . В частности, алгебра 3 имеет ровно независимых образующих.

Действительно, соответствие между оператором С и собственным значением с является линейным и мультипликативным. Кроме того, если то (согласно теореме 7), и отсюда Следовательно, это соответствие взаимно однозначно. Заметим, что образующие можно выбрать однородными, и для их степеней по-прежнему выполняется условие где порядок группы Вейля. Отсюда легко получаем также

Следствие 3. Собственные значения операторов Казимира определяют представление однозначно с точностью до эквивалентности.

Примеры, связанные с алгеброй мы уже рассматривали в гл. IX. В следующем параграфе остановимся на алгебрах