§ 61. Разделение точек спектра и алгебраическое доказательство полной приводимости

В предыдущем параграфе было показано, что функции образуют полиномиальный

базис в классе всех симметрических полиномов Отсюда легко вытекает следующее утверждение:

Теорема 3. Собственные значения характеризуют сигнатуру а однозначно, т. е. определяют неприводимое представление однозначно с точностью до эквивалентности.

Доказательство. Если нам известны числа то известны также значения всех симметрических полиномов от Следовательно, числа определяются однозначно с точностью до перестановок. Однако, если эти числа соответствуют сигнатуре то между ними существует соотношение порядка

которое следует из их определения и неравенств Следовательно, в этом случае числа определяются уже однозначно.

Теорема доказана.

Основное содержание теоремы 3 сводится к тому, что если сигнатуры различны, то найдется хотя бы одно значение при котором Коротко можно сказать, что операторы Казимира «разделяют» неприводимые представления группы G.

До сих пор мы рассматривали только аналитические представления группы очевидно, те же результаты имеют место и для всех неприводимых конечномерных представлений этой группы; однако набор операторов Казимира «удваивается», поскольку наряду с аналитическими приходится рассматривать также и антианалитические инфинигезимальные операторы. Переход от сводится к исключению линейного оператора (вместе с в вещественном случае);

остальные операторы Казимира, очевидно, по-прежнему разделяют неприводимые представления этой группы.

«Разделяющее свойство» операторов Казимира может быть использовано для алгебраического доказательства полной приводимости, разумеется, в случае группы Сформулируем этот результат как следствие теоремы 3:

Следствие. Всякое конечномерное представление группы вполне приводимо.

Мы наметим только схему доказательства этого утверждения. Если в состав представления входят два неприводимых представления то матрицы по отношению к некоторому базису принимают квазитреугольную форму:

Если а не эквивалентно то существует оператор Казимира А, разделяющий в данном базисе матрица этого оператора имеет ту же квазитреугольную форму с заменой а на на где единичные матрицы соответствующего порядка. Поскольку оператор А диагонализуется:

, причем замена базиса осуществляется таким образом, что матрицы имеют прежний квазитреугольный вид. Поскольку

мы заключаем, что Если а эквивалентно то операторы Казимира не дают никакой информации; однако, используя инфинитезимальную технику и единственность старшего веса, легко находим, что и в этом случае представление вполне приводимо. Переход к произвольному количеству неприводимых компонент осуществляется теперь без труда (по индукции).

Замечание 1. Для группы подобное рассуждение не проходит лишь в том случае, когда а эквивалентно Действительно, в этом случае представление х может отличаться от тензорным множителем вида

и свойство полной приводимости уже не выполняется. Рассуждая индуктивно, разбиваем произвольное представление в прямую сумму отдельных блоков, каждый из которых отличается лишь тензорным множителем вида

от неприводимого представления Иначе говоря, все «жордановы клетки» группы обусловлены наличием одномерных представлений которые, в сущности, являются представлениями абелевой фактор-группы

Замечание 2. Располагая инфинитезимальным методом изучения полной приводимости, мы могли бы вместо рассматривать их алгебры Ли При этом нет необходимости использовать явную модель неприводимых представлений, достаточно лишь знать, что существует взаимно однозначное соответствие между этими представлениями и сигнатурами

«Разделяющее свойство» операторов Казимира может быть, очевидно, использовано также для

спектрального анализа конечномерных представлений, точнее, для перечисления всех неприводимых компонент, входящих в данное представление. Однако практически этот метод слишком сложен.