§ 76. Заключительные замечания

В заключение остановимся несколько подробнее на общей теории характеров конечномерных представлений. Мы видели в § 73, что примитивный характер группы определяет неприводимое представление однозначно с точностью до эквивалентности. Покажем теперь, что это свойство не связано со спецификой группы а является универсальным.

Теорема 3. Пусть произвольная группа и — ее примитивный характер. Тогда существует лишь одно (с точностью до эквивалентности) неприводимое (конечномерное) представление группы имеющее своим характером

Доказательство. Пусть А — свободная групповая алгебра группы т. е. совокупность всех конечных сумм вида с произвольными комплексными коэффициентами Всякое представление группы G мы продолжаем до представления алгебры А по формуле Соответственно всякий характер продолжается до характера .

Пусть ядро представления , т. е. совокупность всех элементов для которых Тогда фактор-алгебра изоморфна алгебре всех операторов . Мы считаем, что представление действует в конечномерном пространстве Допустим, что неприводимо. Тогда алгебра В, согласно теореме Бернсайда (см. § 21), изоморфна полной матричной алгебре в пространстве

Далее, пусть характер представления Покажем, что условие принадлежности элемента ядру можно выразить в терминах характера Действительно, равенство

тождественно по означает в силу теоремы Бернсайда, что для всякой матрицы С в пространстве Но это равносильно равенству т. е. а

Допустим теперь, что два неприводимых (конечномерных) представления группы G имеют одинаковые характеры. Тогда согласно сказанному выше оба они имеют одинаковое ядро Следовательно, оба эти представления можно рассматривать как точные представления полной матричной алгебры В. Как мы видели в § 21, все такие представления эквивалентны между собой. Теорема доказана.

Таким образом, общее свойство характеров, выражаемое теоремой 3, является следствием теоремы Бернсайда.

Из последнего замечания следует также, что вместо свободной групповой алгебры А мы могли бы рассматривать и другие алгебры, связанные с группой например универсальную обертывающую алгебру (см. § 22). Характер каждого конечномерного представления алгебры определяется по-прежнему формулой Из доказательства теоремы 3 ясно, что заключение этой теоремы остается в силе также и для алгебры

Понятие характера (для конечных групп) впервые было введено Фробениусом [40] в 1896 г. Вычисление примитивныххарактеров группы мы приводим в этой главе по оригинальным работам Г. Вейля [10], [61]. В гл. XVII мы укажем еще один метод вычисления характеров. Весовая диаграмма для («шестиугольник») была описана впервые, вероятно, Вигнером в 1937 г. См. также [52]. Метод, принятый в этой книге, был предложен автором в [21]. Свойства весовой диаграммы для и других компактных групп мы будем еще рассматривать в дальнейшем (гл. XVII). По поводу дальнейших свойств производящей функции см. монографию Вейля [10] (гл. VII).