условием
Изменяя, если нужно, нормировку параметра
мы можем считать, не ограничивая общности, что
при В частности, отсюда следует, что
при некотором А. Покажем, что
для всех значений
Действительно, это равенство должно иметь место для всех целых значений
Далее,
совпадает с
как единственный квадратный корень в области
из оператора
Следовательно, наше равенство сохраняется также для всех полуцелых значений
Рассуждая индуктивно, проверяем справедливость этого равенства для всех двоично-рациональных чисел
Но тогда оно справедливо и на всей оси ввиду непрерывной зависимости
от
Полученный результат имеет принципиальное значение во всей теории представлений групп Ли. Прежде всего, мы видим, что функция
аналитична. Заметим, что оператор А может быть определен как касательный вектор к кривой
Этот оператор называется производящим оператором или инфинитезимальным оператором однопараметрической группы
Существенно, что значение инфинитезимального оператора полностью определяет всю группу
Это замечание лежит в основе излагаемого ниже общего «инфинитезимального метода».
Пусть теперь
произвольная группа Ли. Рассматривая в ней произвольную одиопараметрическую подгруппу
мы положим
Здесь
произвольный элемент в алгебре Ли X группы G. Семейство операторов
мы называем дифференциалом представления
Теорема 1. Пусть
группа Ли,
ее конечномерное представление и
его дифференциал. Тогда
является представлением алгебры Ли X группы G. Если
то
Функция
является аналитической функцией на всей группе G.
Дбказательство. Пусть х, у — произвольные элементы из алгебры
Напомним, что вектор
является касательным вектором к кривой
в единичной точке
Образом этой кривой в представлении
является
Касательным вектором к
в свою очередь служит
Следовательно,
Аналогично рассматривается коммутатор
и проверяется, что
Следовательно, отображение
является представлением алгебры
Далее, если
по отношению к некоторому базису
в алгебре X, то мы имеем
где положено
Следовательно, функция
аналитична в той окрестности точки
где определены канонические координаты
Применяя сдвиги в группе G (левые или правые), заключаем, что функция
аналитична также в окрестности каждой точки
Теорема доказана.
Замечание 1. Подчеркнем, что в теореме 1 группа G рассматривается как вещественная и имеется в виду вещественная аналитичность функции
Если группа G комплексна, то представление
аналитично по вещественным параметрам в G. Однако если функция
удовлетворяет условиям Коши — Римана по отношению к этим параметрам, то функция
является комплексно-аналитической на G. В этом случае
где
комплексные параметры в алгебре
Замечание 2. Пусть V бесконечномерно. Вектор
называется дифференцируемым, если вектор-функция
дифференцируема на G. В частности, если
дифференцируемая функция, равная нулю вне компактного множества на
то вектор
является дифференцируемым для любого
(проверьте). Пусть
множество всех таких векторов Если функционал
равен пулю на
то
в частности,
для любого
Следовательно,
Как следует из теории линейных топологических пространств, в этом случае
всюду плотно в
Отсюда можем заключить, что дифференциал
допускает определение на всюду плотном множестве в
Мы предоставляем читателю проверить следующие свойства дифференциала:
1° Если
инвариант представления
то
аннулируется всеми инфинитезимальными операторами
2° Если
инвариантное подпространство относительно
то
инвариантно также относительно
3° Если два представления
эквивалентны, то их дифференциалы
также эквивалентны.
4° Если представление
является тензорным произведением представлений
то на векторах вида
мы имеем
Если представление
контрагредиентно представлению
то мы имеем
где
дифференциалы
а скобка
означает билинейную форму, входящую в условие контрагредиентности.
В частности, если
то согласно
Такое представление в дальнейшем мы будем называть представлением алгебры X, контрагредиентным
Аналогично свойство 4° может быть использовано для определения тензорного произведения двух представлений алгебры
Если
связная группа Ли, то согласно теореме 1 все эти утверждения допускают обращение. Действительно, в этом случае функция
порождается произведениями операторов вида