коммутативная подалгебра в
Далее, рассмотрим в
множество всех преобразований
где
произвольный вектор из
(корень а рассматривается также как вектор из
Нетрудно видеть, что эти преобразования сохраняют алгебру
Следовательно, мы получаем коммутативную связную подгруппу
где
присоединенная группа для
Поскольку алгеброй Ли подгруппы
является максимальная коммутативная подалгебра
мы можем заключить, что
является максимальным тором в
-Применяя теорему 9, получаем, что всякий элемент может быть представлен в виде
Иначе говоря, всякая матрица из
может быть приведена в
к диагональному виду с диагональной матрицей
Очевидно, отображение (
является аналитическим. Разложение
можно в известном смысле (§ 72) рассматривать как выбор параметров в группе
Заметим, что собственными значениями матрицы у являются
где а — корень и
набор канонических координат элемента
Поскольку вектор
вполне определяется своими проекциями на корни а, то матрица у определяется собственными значениями матрицы
однозначно с точностью до перестановки этих собственных значений. Следовательно, при фиксированном
мы получаем лишь конечное число разложений с различными диагональными элементами у. Это замечание будет существенно использовано при доказательстве теоремы 10.
Напомним, что вектор
называется регулярным (§ 91), если оператор
имеет ровно
нулевых собственных значений, где
Соответственно элемент
назовем регулярным, если матрица
имеет ровно
единичных собственных значений,
Доказательство теоремы 10. Исходя из группы
мы можем непосредственно вычислить центр
односвязной группы Действительно, согласно общему определению односвязной накрывающей центр
изоморфен фундаментальной группе (группе Пуанкаре) многообр азия
1. Пусть
— множество всех нерегулярных элементов из
Покажем, что
является объединением конечного числа многообразий размерности
где
размерность многообразия
Действительно, фиксируем корень а и обозначим
множество всех матриц
Для которых
Далее, пусть
— множество всех элементов вида
где у пробегает
Ясно, что
где
подгруппа в группе
перестановочная с
Если
то элемент
перестановочен не только с
но также и с
Отсюда ясно, что алгебра Ли подгруппы
натянута на
Следовательно,
В результате
(Действительно,
является объединением всех
2. Рассмотрим элемент
достаточно близкип к единице и регулярный. Рассмотрим произвольный замкнутый путь, проходящий через
В силу предыдущего замечания мы можем рассматривать (за счет небольшой деформации) только пути, обходящие сингулярное множество Используя разложение
как параметризацию в
запишем данный путь в виде
Положим
и покажем, что возможно неравенство
т. е. путь
может оказаться незамкнутым. Действительно, поскольку
то элемент
удовлетворяет соотношению
Если
переставляет собственные значения матрицы
то это равенство возможно. Следовательно, в этом
случае путь
не может быть непрерывной деформацией стянут в точку (при условии закрепления концов).
3 С другой стороны, если путь
является замкнутым, то он может быть стянут в точку
внутри тора
Действительно, матрица
имеет собственные значения
где
-непрерывный путь в
Путь
может быть незамкнутым в
только в том случае, когда
где каф
хотя бы при одном значении а
целое число). Нетрудно видеть, что в этом случае путь
проходит через сингулярный элемент, что исключается. Следовательно, путь у (0 может быть непрерывной деформацией переведен в путь
Положим теперь
где
однопараметрическая подгруппа, проходящая через
с аддитивным параметром
Полагая
заключаем, что
в то время как путь
вырождается в точку
Следовательно, путь
непрерывной деформацией переводится в точку.
Сопоставляя пункты 2 и 3, мы видим, что в пространстве
существует лишь конечное число классов путей, где пути из каждого класса гомотопны между собой (т. е. переводятся друг в друга непрерывной деформацией). Следовательно, фундаментальная группа 3 конечна. Поэтому группа
компактна. Теорема доказана.
С другой стороны, если X — коммутативная алгебра Ли, то односвязная группа
изоморфна векторному пространству. Следовательно, в этом случае аналог теоремы 10 не имеет места. В этом состоит одно из основных различий между полупростыми и коммутативными алгебрами Ли.