§ 114. Ортогональная группа

Перейдем к рассмотрению ортогональной группы Эта группа связна и является связной компонентой единицы в группе линейных преобразований, сохраняющих симметрическую билинейную форму

Мы естественно приходим к выбору этой формы, если желаем записывать разложение Гаусса с помощью треугольных матриц. Действительно, повторяя почти дословно рассуждения предыдущего параграфа, получаем, что разложение Гаусса в группе G индуцируется разложением Гаусса в объемлющей группе В результате

где компоненты определяются как пересечения группы G с подгруппами В дальнейшем мы будем отдельно рассматривать случай четной и нечетной размерности. В обоих случаях ранг группы G равен и схема Дынкина имеет вид

Зеркальный автоморфизм. Напомним, что полная ортогональная группа состоит из двух связных листов: первый из которых совпадает с группой Поскольку эта группа является нормальным делителем в (как связная компонента единицы), то для всякой пары элементов Положим, в частности,

где матрица о определяется как перестановка базисных векторов с номерами в случае четного

Переход от мы будем называть зеркальным автоморфизмом в группе G. Заметим, что В дальнейшем мы увидим, что зеркальный автоморфизм (при четном действительно является внешним, т. е. не сводится к внутреннему автоморфизму в В схеме Дынкина этот автоморфизм осуществляет перестановку двух последних корней.

После этого (существенного) замечания перейдем к решению задачи об описании всех неприводимых представлений группы Случай четного Рассуждая, как и в предыдущем параграфе, замечаем, что независимыми мультипликативными параметрами в картановской подгруппе являются первые собственных значений матрицы Вводя для этих параметров обозначения положим

Как и в предыдущем параграфе, группа G содержит подгруппу изоморфную Индуктивность характера по отношению к этой подгруппе приводит к ограничениям Следовательно, характер может быть также записан в виде

где числа неотрицательны и При этом является диагональным минором матрицы равным Заменяя на где соответствующий диагональный минор матрицы получаем производящую функцию Заметим теперь, что зеркальный автоморфизм сохраняет разложение Гаусса в группе

(Действительно, алгебра Ли группы G состоит из всех матриц, кососимметричных относительно второй диагонали, и отсюда легко получить, что зеркальный автоморфизм оставляет инвариантными алгебры Ли подгрупп Отсюда мы получим существенное свойство симметрии в классе сигнатур.

Каждому представлению группы G поставим в соответствие зеркально сопряженное представление Это представление действует в том же пространстве, что и Если I — старший вектор представления то мы имеем

Следовательно, вектор является также старшим относительно При этом представление имеет старший вес Поскольку для матрицы преобразование сводится к замене собственных значений то мы имеем

Отсюда заключаем, что если вектор является сигнатурой, то вектор также является сигнатурой. Отсюда в свою очередь получаем добавочное ограничение на сигнатуру Сопоставляя с найденными ранее ограничениями, получаем в результате

Существование двузначных представлений. Покажем вначале, что отрицательные значения параметра действительно допустимы. Для этого заметим, что все диагональные миноры матрицы совпадают с соответствующими минорами в то время как

Поскольку зеркальный автоморфизм сохраняет разложение Гаусса, то эти же равенства сохраняются при замене на Следовательно, делится без остатка на В дальнейшем мы условимся использовать обозначение также для миноров матрицы

Введем в рассмотрение главные сдвиги на группе Z. Легко проверить, что образующими в алгебре Ли

группы Z являются следующие матрицы:

Здесь Условимся также использовать обозначение

При этом очевидно, что зеркальный автоморфизм переставляет векторы Пусть соответствующие главные сдвиги на группе Z.

Полагая мы легко проверяем, что имеют место следующие тождества:

Действительно, операторы порождаются подгруппой изоморфной и миноры зависят только от центрального множителя в обобщенном разложении Гаусса:

(Это разложение вполне аналогично бинарному разложению рассмотренному в предыдущем параграфе.) В частности, нас будет особенно интересовать следующее тождество:

Действительно, минор является константой по отношению к дифференцированию Применяя к этому тождеству зеркальный автоморфизм, мы получаем

В совокупности с равенствами это равенство означает, что характер является индуктивным по отношению к группе G. Действительно, функция

удовлетворяет индикаторной системе и потому является полиномом на группе Z.

Полученное представление мы обозначим и назовем спинорным представлением первого рода. Очевидно, это представление двузначно на группе G (т. е. является однозначным представлением универсальной накрывающей группы

С другой стороны, применяя к представлению зеркальный автоморфизм, получаем представление определяемое характером Это представление назовем спинорным представлением второго рода.

Запишем теперь произвольный характер в виде

где положено Как легко проверить, показатели связаны с показателями следующими соотношениями:

Очевидно, соответствующая функция удовлетворяет некоторой индикаторной системе тогда и только тогда, когда все показатели являются целыми неотрицательными.

В результате доказана следующая

Теорема 7. Всякое неприводимое представление группы при однозначно определяется сигнатурой где числа являются одновременно целыми или одновременно полуцелыми. Полугруппа неприводимых представлений имеет образующие с сигнатурами

и двузначные (спинорные) образующие с сигнатурами

Если использовать символику произведений Юнга, то всякое неприводимое представление с

сигнатурой можно также записывать в виде

где положено и числа являются произвольными целыми неотрицательными. При этом иногда мы будем использовать символику Случай нечетного Этот случай мы можем получить редукцией из предыдущего, рассматривая как подгруппу в преобразования которой сохраняют Поскольку для диагональных матриц последнее условие выполняется только при то при сужении на мы получаем в качестве проекции характер

При этом числа должны быть одновременно целыми или одновременно полуцелыми. С другой стороны, нетрудно видеть, что других старших весов группа не имеет. Действительно, сужая на главные сдвиги группы получаем все главные сдвиги на Вводя обозначение запишем характер в виде

Тогда нетрудно видеть, что числа являются произвольными целыми неотрицательными. Представление с характером является проекцией спинорных представлений группы

Представление мы называем спинорным представлением группы при нечетном

Теорема 8. Всякое неприводимое представление группы однозначно определяется сигнатурой где числа являются одновременно

целыми или одновременно полуцелыми. Сигнатуры

определяют систему образующих в полугруппе неприводимых представлений группы При этом всякое представление с сигнатурой а может быть записано в виде произведения Юнга:

где числа произвольные целые неотрицательные.

Замечание. Наряду с существованием двузначных представлений мы доказали приводимость некоторых диагональных миноров для ортогональной группы Действительно, при имеем

Отсюда, между прочим, следует, что поливектор содержится в тензорном произведении (см. замечание в § 109). Точно также при имеем

В свою очередь доказательство приводимости этих миноров (как полиномов на Z при равносильно построению спинорных представлений.

Специально отметим, частный случай В этом случае всякое неприводимое представление имеет вид и представления зеркально сопряжены. Как следует из схемы Дынкина, локально изоморфна квадрату группы Лоренца. Спинорные представления можно в этом случае рассматривать как однозначные представления группы Лоренца.

Итак, мы показали, в частности, что группа при любом значении допускает двузначные представления. Покажем, что G двусвязна (случай исключается).

Действительно, положим при четном при нечетном Представления являются однозначными представлениями группы Поскольку накрывает то и все остальные представления также однозначны на Следовательно, односвязна. При этом двукратно накрывает группу G.