Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 114. Ортогональная группаПерейдем к рассмотрению ортогональной группы
Мы естественно приходим к выбору этой формы, если желаем записывать разложение Гаусса с помощью треугольных матриц. Действительно, повторяя почти дословно рассуждения предыдущего параграфа, получаем, что разложение Гаусса в группе G индуцируется разложением Гаусса в объемлющей группе
где компоненты
Зеркальный автоморфизм. Напомним, что полная ортогональная группа
где матрица о определяется как перестановка базисных векторов с номерами Переход от После этого (существенного) замечания перейдем к решению задачи об описании всех неприводимых представлений группы
Как и в предыдущем параграфе, группа G содержит подгруппу
где числа
(Действительно, алгебра Ли группы G состоит из всех матриц, кососимметричных относительно второй диагонали, и отсюда легко получить, что зеркальный автоморфизм оставляет инвариантными алгебры Ли подгрупп Каждому представлению
Следовательно, вектор
Отсюда заключаем, что если вектор
Существование двузначных представлений. Покажем вначале, что отрицательные значения параметра
Поскольку зеркальный автоморфизм сохраняет разложение Гаусса, то эти же равенства сохраняются при замене Введем в рассмотрение главные сдвиги на группе Z. Легко проверить, что образующими в алгебре Ли группы Z являются следующие матрицы:
Здесь
При этом очевидно, что зеркальный автоморфизм переставляет векторы Полагая
Действительно, операторы
(Это разложение вполне аналогично бинарному разложению
Действительно, минор
В совокупности с равенствами удовлетворяет индикаторной системе и потому является полиномом на группе Z. Полученное представление мы обозначим и назовем спинорным представлением первого рода. Очевидно, это представление двузначно на группе G (т. е. является однозначным представлением универсальной накрывающей группы С другой стороны, применяя к представлению зеркальный автоморфизм, получаем представление определяемое характером Запишем теперь произвольный характер
где положено
Очевидно, соответствующая функция В результате доказана следующая Теорема 7. Всякое неприводимое представление группы
Если использовать символику произведений Юнга, то всякое неприводимое представление сигнатурой
где положено
При этом числа
Тогда нетрудно видеть, что числа Представление Теорема 8. Всякое неприводимое представление группы целыми или одновременно полуцелыми. Сигнатуры
определяют систему образующих в полугруппе неприводимых представлений группы
где числа Замечание. Наряду с существованием двузначных представлений мы доказали приводимость некоторых диагональных миноров для ортогональной группы
Отсюда, между прочим, следует, что поливектор
В свою очередь доказательство приводимости этих миноров (как полиномов на Z при Специально отметим, частный случай Итак, мы показали, в частности, что группа Действительно, положим
|
1 |
Оглавление
|