Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 89. Теорема Леви — МальцеваПроведенная выше классификация не является полной в том смысле, что существуют груплы (алгебры) Ли, которые не относятся ни к одному из выделенных классов. В частности, это верно даже для такой классической группы, как группа движений евклидова пространства (включающая повороты и трансляции). Оказывается, однако, что любая группа (или алгебра) Ли может быть (в известном смысле) составлена из отдельных подгрупп, каждая из которых уже относится к перечисленным выше классам. Рассмотрим вначале алгебры Ли. Пусть X — такая Теорема 7 (Леви — Мальцев). Всякая алгебра Ли может быть разложена (как линейное пространство) в прямую сумму своего радикала
Подалгебра Мы не будем приводить доказательства этой теоремы, поскольку оно является достаточно сложным и это увело бы нас в сторону от основного направления данной книги. Отметим только соотношения коммутации:
Последнее соотношение является следствием того, что алгебра Таким образом, основным содержанием теоремы 7 является результат о существовании в X подалгебры Пусть
При этом Полученное разложение, вообще говоря, неоднозначно; однако Пример. Пусть
где а — поворот и группа G может быть записана как группа матриц:
Подгруппа поворотов Замечание 1. Группа G из этого примера не является связной. Однако мы получим связную группу, если ограничимся связной компонентой единицы. (Для этого достаточно наложить ограничение Замечание 2. Если группа G допускает однозначное разложение в произведение двух подгрупп, Таким образом, теорема Леви — Мальцева показывает, что всякая связная группа Ли конструируется из разрешимой и полупростой примерно по тому же правилу, как группа движений евклидова пространства составляется из трансляций и вращений. Как мы видели в этой главе, существует много вариантов естественного определения для основных типов алгебр Ли. Мы попытались унифицировать эти определения, прибегая к терминам присоединенного представления. Однако получаемые таким путем определения иногда недостаточно эффективны для проверки. Например, теорема Энгеля дает гораздо более простой критерий нильпотентности алгебры определения в терминах последовательных производных и центральных рядов. Невырожденность формы Киллинга — Картана является, по-видимому, наиболее существенной информацией, необходимой для дальнейшего изучения простых и полупростых алгебр Ли. Напомним, что этот результат в свою очередь является следствием критерия разрешимости Э. Картана (теорема 3). При доказательстве этого критерия мы воспользовались, следуя [77], разложением Фиттинга в алгебре Существование разложения
|
1 |
Оглавление
|