§ 19. Алгебры и группы, связанные с уравнением

Существует несколько иной аспект рассматриваемых вопросов, особенно важный для приложений, но в настоящее время еще недостаточно разработанный. В математической физике, как известно, часто приходится решать уравнения на собственные значения:

где линейный оператор, как правило, интегральный или дифференциальный (оператор Лапласа, оператор Гамильтона). Если оператор, перестановочный с то его изучение дает обычно глубокую информацию о собственных векторах оператора Мы рассмотрим в этом параграфе лишь элементарную алгебраическую схему такого подхода.

Если перестановочны с то этим же свойством обладают их произведение и произвольные линейные комбинации. Следовательно, множество всех операторов, перестановочных с образует алгебру. Эта алгебра носит название коммутаторной алгебры оператора Если элемент коммутаторной алгебры и решение то имеем

Следовательно, вектор является по-прежнему собственным вектором относительно с тем же собственным значением, что и Иначе говоря, пространство V всех собственных векторов с собственным значением

инвариантно относительно Следовательно, оно инвариантно также по отношению ко всей коммутаторной алгебре оператора

Если оператор Гамильтона в квантовой механике и оператор физической величины, зависящей от времени, то эволюция оператора описывается уравнением Следовательно, если перестановочен с Такие физические величины играют роль сохраняющихся «интегралов движения» (энергия, заряд, момент количества движения) и играют, как известно, принципиальную роль в изучении физической системы.

В приложениях иногда встречаются случаи, когда пространство конечномерно и операторы коммутаторной алгебры порождают полную алгебру матриц в пространстве . Ясно, что в этом случае всякое решение может быть получено из единственного решения при помощи преобразований коммутаторной алгебры.

Примером является уравнение где оператор Лапласа, в классе функций на сфере в трехмерном евклидовом пространстве. Решения такого уравнения существуют, как известно, только при где I — целое число, и являются линейными комбинациями сферических функций степени I. Число таких функций равно Специалистам по математической физике хорошо известны (см. [18]) дифференциальные операторы такие, что

(правая часть заменяется нулем, если превосходит I). Операторы содержатся в коммутаторной алгебре оператора А, и их рассмотрение позволяет легко установить ряд замечательных свойств сферических функций. Аналогичная ситуация имеет место в теории системы -мерных гармонических осцилляторов (в квантовой механике). Эта задача будет рассмотрена нами в § 57.

Пусть множество всех обратимых преобразований из коммутаторной алгебры оператора Множество G образует группу, которую условимся называть полной группой симметрии оператора Особенно интересен тот случай, когда группа G является группой Ли, т. е. зависит аналитическим образом от конечного числа параметров. Иногда удобно рассматривать G как

представление некоторой абстрактной группы Элементы из G записываются при этом в виде

В приведенном выше примере с оператором Лапласа роль группы играет группа Для системы -мерных гармонических осцилляторов в аналогичной роли выступает

С другой стороны, из элементов коммутаторной алгебры можно сконструировать алгебру Ли, ибо содержится в коммутаторной алгебре вместе с В рассмотренных выше примерах эта алгебра конечномерна и совпадает с алгеброй Ли некоторой группы симметрии G. В частности, описанные выше операторы содержатся в алгебре Ли группы симметрии оператора А, изоморфной

Если в уравнении то наряду с представлением можно рассматривать пару представлений для которых играет роль переплетающего оператора: В этом случае, если решение то, как легко проверить, вектор снова является решением

Мы уже отмечали в § 15, что теория представлений групп является основой для общей теории специальных функций. Напомним теперь, что специальные функции обычно возникают как решения уравнений вида На связь теории представлений с теорией специальных функций впервые обратил внимание еще Картан. В настоящее время известно (см. [14]), что все основные классы специальных функций математической физики могут быть получены в рамках групповой схемы; при этом для них единообразным способом выводятся свойства ортогональности и полноты, дифференциальные и интегральные соотношения.

Рассмотрения, связанные с коммутаторными алгебрами, могут быть положены в основу самой теории представлений; в частности, они позволяют раскрыть основные закономерности, связанные с понятием неприводимости. В следующем параграфе мы переходим к рассмотрению таких закономерностей. Прежде всего мы докажем так называемую лемму Шура, которая является основным «ключом» к теории конечномерных представлений.