§ 7. Метрика. Мера Хаара

Используя идеи предыдущего параграфа, мы получаем, в частности, что справедлива следующая

Теорема 6. На группе Ли всегда существует положительно определенная риманова метрика

(сумма по ), инвариантная относительно правых сдвигов же верно для левых сдвигов). Метрический тензор аналитичен на G.

Доказательство строится по той же схеме, что и доказательство теоремы 5. Если записывать исходный тензор в виде матрицы то мы находим

где штрих означает транспонирование. При этом в качестве выбирается произвольная положительно определенная матрица порядка число параметров в группе

Следствие. Всякая группа Ли является римановым пространством.

Если произвольные точки в группе то мы определяем расстояние между ними по формуле

где берется по всем спрямляемым кривым, соединяющим Полученная метрика обладает следующим свойством инвариантности:

т. е. не меняется при правых сдвигах в группе G. Точно так же может быть построена метрика, инвариантная при левых сдвигах.

Пример. На матричной группе G мы можем использовать форму построенную в предыдущем параграфе, и положить

где штрих означает транспонирование, след и. элемент матрицы со. Очевидно, эта форма является положительно определенной.

Замечание. Связь между теорией групп Ли и геометрией римановых пространств впервые была плодотворно использована Картаном. В частности, важно отметить, что однопараметрические подгруппы в группе G оказываются геодезическими относительно введенной римановой метрики. Это свойство мы исследуем ниже (§ 102) для отдельного частного случая групп Ли.

Точно так же, применяя «правило трансляции» к кососимметрическому тензору ранга число параметров в группе получаем следующий результат:

Теорема 7. На группе Ли размерности существует элемент объема, инвариантный относительно правых сдвигов и представимый в виде

где аналитическая функция на группе определяемая однозначно с точностью до постоянного множителя.

Действительно, элемент объема задается в единичной точке посредством обычного определителя, составленного из линейно независимых касательных направлений. Этот элемент может быть записан также в виде кососимметричной полилинейной формы порядка Применяя правило трансляций, указанное в § 6, заметим также, что кососимметрический тензор порядка определяется в -мерном пространстве однозначно с точностью до постоянного множителя.

Условие инвариантности элемента можно выразить формулой понимая под заменой переменных обычное правило вычисления якобиана. Иное выражение условия инвариантности дается формулой

где произвольная функция на группе интегрируемая с весом Элемент называется

правоинвариантной мерой на группе G. Аналогично строится левоинвариантная мера.

Пусть А — произвольное измеримое множество в группе т. е. такое, для которого интеграл

существует. Полученный интеграл называется мерой или объемом множества А. Инвариантность этого объема относительно правых сдвигов выражается очевидной формулой:

для любого Функция называется также мерой Хаара по имени математика, который доказал ее существование (для класса групп более широкого, чем группы Ли).

В этой главе был приведен лишь краткий обзор теории групп Ли. Подробное изложение этой теории можно найти в монографиях [38], [45], [46]. Оригинальное изложение первоначальной теории Ли содержится в трактате Ли и Энгеля [32]. Связь с геометрией римановых пространств приводится в [24], [47]; см. также [42]. Решение пятой проблемы Гильберта — [36]. Относительно инвариантного интегрирования на группе см. [9], [10], [35], [118], [134].

В следующей главе мы рассмотрим несколько более подробно линейные (матричные) группы. Ряд результатов теории групп Ли будет в дальнейшем изложен с доказательствами для этого частного класса групп.