§ 56. Реализация d(a) на прямоугольных матрицах

Опишем еще одну модель неприводимого представления которая в некотором смысле является промежуточной между реализацией в классе тензоров и реализацией на группе G. Положим где обе группы рассматриваются над полем комплексных чисел. Пусть X — линейное пространство всех комплексных матриц и — пространство всех полиномов Положим

где пробегает и пробегает G. Операторы определяют представление группы в пространстве Поскольку однородные полиномы образуют инвариантное подпространство относительно то, в сущности, нам приходится иметь дело с конечномерными представлениями

Заметим, что всякое неприводимое представление группы определяется сдвоенной сигнатурой вида где а — сигнатура сигнатура Я. Поставим задачу о разложении на неприводимые представления. Полагая мы условимся записывать каждую сигнатуру в виде дополняя, если нужно, недостающие координаты нулями. Положим также Докажем, что имеет место

Теорема 3. Представление в пространстве является однократной суммой представлений

с сигнатурами вида Вектор

является старшим вектором, отвечающим сигнатуре

Доказательство. Заметим, что для матриц имеет место следующий аналог разложения Гаусса:

где верхние треугольные матрицы с единицами на главной диагонали и диагональная прямоугольная матрица

Такое разложение справедливо, если

где главный диагональный минор матрицы х, составленный из первых строк и первых столбцов. Доказательство ничем не отличается от случая рассмотренного в § 9. При этом имеем

Найдем теперь все старшие векторы группы в пространстве Если такой старший вектор, то он является инвариантом и мы имеем

Следовательно, является полиномом от параметров Поскольку вектор должен быть также весовым относительно то он является одночленом от

где сигнатура как относительно левых, так и относительно правых сдвигов на элементы Согласно общим условиям,

наложенным на сигнатуру, в пространстве содержатся лишь такие одночлены, для которых но тогда Теорема доказана.

Пусть — циклическая оболочка старшего вектора т. е. пространство неприводимого представления группы Согласно общей теории представлений (см. § 43) мы имеем

где пространства неприводимых представлений отвечающих сигнатуре а. Следовательно, а может быть также составлено из прямоугольных матриц Из полученной конструкции очевидно

Следствие 1. Пусть линейные оболочки операторов соответственно. Тогда мы имеем

Отсюда, как и в предыдущем параграфе, мы можем заключить, что в алгебре содержатся все проекторы на неприводимые подпространства относительно и в алгебре содержатся все проекторы на неприводимые подпространства относительно Аналогичные утверждения верны и для переплетающих операторов.

Отсюда ясно, как произвести сужение на подгруппу, изоморфную G (либо на подгруппу, изоморфную ). Пространство кратно неприводимому относительно с кратностью и кратно неприводимому относительно G с кратностью Здесь, как и выше Рассмотрим специально случай

Следствие 2. Если то пространство может быть охарактеризовано как линейная оболочка функций

где означает полином над X, совпадающий при с матричным элементом группы G сигнатуры а.

Действительно, матричные элементы неприводимого представления получаются левыми и правыми сдвигами из производящей функции

(см. общую конструкцию таких представлений в гл. VII). Вместе с функцией все эти матричные элементы продолжаются до полиномов над Ясно, что линейная оболочка этих элементов совпадает с пространством

Следствие 3. Матричные элементы аналитических неприводимых представлений группы G образуют линейный базис в классе всех полиномов над X, где X — множество всех матриц

Аналогичное утверждение нетрудно также получить для полиномов от вещественных параметров в пространстве X (т. е. полиномов от однако при этом приходится рассматривать все вещественные неприводимые представления группы G. Привлекая теорему Вейерштрасса, получаем также свойство полноты в классе непрерывных функций над X: всякая непрерывная функция над X может быть аппроксимирована линейными комбинациями матричных элементов равномерно на каждом компакте . В частности, поскольку является компактом, то мы еще раз получаем аппроксимационную теорему Петера — Вейля для

Если рассматривать полученную конструкцию как построение модели то ясно, что при мы находим не все возможные представления группы при возникает избыток параметров, в то время как случай является оптимальным. Таким образом, мы снова возвращаемся к реализации на группе G.