§ 30. Завершение доказательства для линейной группы G

Возвращаясь к первоначальным обозначениям для матричных элементов, получаем сокращенную запись ряда Фурье:

где матрица, составленная из коэффициентов Фурье функции с фиксированным номером I. Непосредственное выражение для матрицы дается, очевидно, формулой

где штрих означает транспонирование. Если в группе G происходит правый сдвиг то каждое слагаемое в этой сумме заменяется выражением

откуда ясно, что преобразованная функция имеет коэффициентами Фурье матрицы

Полученный результат естественно интерпретируется как разложение правого регулярного представления на неприводимые. Действительно,

(прямая ортогональная сумма), где каждое слагаемое конечномерно и изоморфно пространству всех

матриц поскольку каждый столбец такой матрицы преобразуется по закону мы заключаем, что представление содержится в с кратностью

Замечание. Нетрудно видеть, что из рассмотрения левых сдвигов возникает то же самое разложение пространства Далее, если рассматривать как алгебру относительно свертки, то важно отметить, что свертке двух функций из соответствует умножение соответствующих блоков при каждом фиксированном следовательно, алгебра изоморфна (дискретной) сумме полных матричных блоков размерностей

Поскольку, как мы видели в § 18, всякое неприводимое представление группы конечномерное или бесконечномерное, содержится в регулярном, интуитивно ясно, что имеет место

Лемма 7. Линейная компактная группа G не имеет иных топологически неприводимых представлений, кроме представлений действующих в классе тензоров.

Изложим строгое доказательство этой леммы. Пусть топологически неприводимое представление группы G в линейном топологическом пространстве V (произвольной размерности), и пусть одно из представлений действующее в пространстве Заметим, что всякий линейный непрерывный оператор имеет следующий вид:

где — фиксированный базис в пространстве непрерывные линейные функционалы над Если оператор А переплетает представления то мы находим после несложных вычислений

где матрица оператора означает, что в сопряженном линейном пространстве V существует

конечномерное инвариантное подпространство (относительно предстайления контрагредиентного Если V бесконечномерно и неприводимо, то отсюда заключаем, что Если же то V конечномерно и, согласно лемме Шура, эквивалентно

Допустим теперь, что для всякого переплетающего оператора А и всякого Рассмотрим произвольный функционал же V, и положим

где произвольный фиксированный вектор из Применяя к оператору А процесс усреднения по правилу

получаем переплетающий оператор следовательно, Замечая, что находим

Полученное равенство означает, что числовая функция ортогональна всем матричным элементам Следовательно, в силу полноты системы этих элементов:

Поскольку произвольный элемент из V, это возможно (в силу теоремы Хана — Банаха [5]) только при условии Поскольку произвольный вектор, мы получаем противоречие. Лемма доказана.

Тем самым доказывается п. 2 глобальной теоремы, откуда следует также и п. 4 (число элементарных гармоник конечно только в том случае, когда пространство конечномерно, т. е. группа G конечна). В результате для случая линейной группы глобальная теорема доказана полностью.