Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА VII. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ U(n)В этой главе будет получено полное описание неприводимых представлений группы Глобальный метод решения, предлагаемый в этой главе, совершенно не зависит от всей предыдущей теории. Иногда мы пользуемся инфинитезимальными построениями, но это делается лишь из соображений наглядности. Что же касается теории компактных групп Ли (глобальная теорема), то мы лишь однажды — при описании пространства представления — пользуемся принципом полной приводимости. В действительности этот принцип может быть непосредственно доказан для комплексной группы Таким образом, теория конечномерных представлений комплексной группы может быть построена независимо от теории компактных групп Ли. Мы будем использовать лишь элементарные методы линейной алгебры («разложение Гаусса», описанное в § 9). § 46. Существование старшего весаПоложим базиса позволяет выделить в группе G специальные подгруппы, входящие в разложение Гаусса:
Здесь
Как известно из линейной алгебры (см. § 9), множество Пусть
Собственное значение Определение 1. Вектор Заметим, что группа G является односвязной; следовательно, все ее представления однозначны. Из условия однозначности следует, в частности, что показатели весом. Если в определении 1 рассматривать Заметим также, что Z является связной (и односвязной) подгруппой, алгеброй Ли для которой является подалгебра
Как мы видели в § 44, всякое аналитическое представление группы G обладает таким вектором. Однако при этом мы пользовались «унитарным трюком» Вейля (диа-гонализация операторов подгруппы Теорема 1. Всякое (конечномерное) представление группы Доказательство. Положим Лемм а. Всякое неприводимое представление группы Доказательство леммы. Вместо группы Пусть нуль на Далее, вернемся ко всему пространству
т. е. если применение Заметим теперь, что всякий оператор Вернемся к доказательству теоремы. Пусть вектор Теорема доказана. Замечание. При доказательстве теоремы 1 мы получили также значительную информацию относительно представлений треугольной группы треугольному виду. Последнее утверждение легко доказывается обычным методом индукции. Следовательно, свойство треугольности восстанавливается в каждом (конечномерном, комплексном) представлении группы
|
1 |
Оглавление
|