§ 120. Представления со старшим вектором

В этом параграфе будут исследованы представления алгебры X, не обязательно конечномерные, которые обладают следующими свойствами:

1° В пространстве представления существует вектор который аннулируется всеми преобразованиями подалгебры и является собственным относительно подалгебры Я.

2° Вектор является циклическим в пространстве представления (т. е. все это пространство получается из преобразованиями ассоциативной алгебры

Пусть V — пространство представления и оператор представления, отвечающий элементу Тогда определение вектора выглядит следующим образом:

Вектор называется старшим вектором, и линейная форма старшим весом данного представления. Числа в этом определении могут быть произвольными комплексными.

Представление обладающее свойствами 1° и 2°, мы будем называть циклическим представлением со старшим весом Я. Иногда такое представление называют также представлением со старшим вектором.

Теорема 2. Пусть -циклическое представление алгебры X со старшим весом . Тогда старший вектор определяется однозначно (с точностью до нормировки) и преобразования диагонализуются в пространстве представления. Всякий вес

подалгебры при этом имеет вид

где значение простого корня на -торе неотрицательные целые числа. Каждый вес встречается в пространстве представления с конечной кратностью. Наконец, для каждой линейной формы над алгеброй существует единственное (с точностью до эквивалентности) неприводимое представление со старшим весом

Доказательство. Согласно свойству цикличности пространство V представления может быть записано в виде

где символ означает множество всех векторов вида Согласно разложению Картана — Вейля мы получаем также

поскольку Иначе говоря, пространство V является циклическим также относительно подалгебры

Пусть канонические образующие в подалгебре тогда элементы вида образуют базис в (вместе с элементом и соответственно элементы вида

порождают пространство Очевидно, каждый такой элемент является весовым с весом

Следовательно, операторы диагонализуются в пространстве V, и каждое собственное значение имеет конечную кратность (поскольку существует лишь конечное число одночленов от с постоянной суммой Первая часть теоремы доказана.

Далее, пусть X — произвольная линейная форма на алгебре и Определим пространство как свободную ассоциативную алгебру с единицей и с образующими Положим

В последнем соотношении мы исходим из равенства которое должно выполняться для всякого представления алгебры Это соотношение позволяет определить оператор индуктивно для всех одночленов В результате, как легко проверить, мы получаем представление алгебры X во всем пространстве

Всякий одночлен является весовым вектором относительно алгебры с весом Следовательно, среди таких весов вес X является старшим и содержится однократно в пространстве Кроме того, согласно определению оператора вектор 1 является циклическим относительно алгебры Следовательно, является циклическим представлением со старшим весом

Пусть произвольное инвариантное подпространство в и разложение произвольного вектора по весовым векторам х, с различными весами Принадлежность можно рассматривать как линейную зависимость Поскольку векторы с различными весами не могут быть линейно зависимы, то при каждом Следовательно, преобразования

диагонализуются в Пусть — максимальный из весов, содержащихся в Мы исключаем случай когда Следовательно, Пусть — геометрическая сумма всех инвариантных подпространств с максимальными весами тогда есть максимальное инвариантное подпространство в отличное от Следовательно, неприводимо. Мы доказали существование неприводимого представления со старшим весом Я.

Докажем теперь единственность такого представления. Пусть неприводимое представление со старшим весом и старшим вектором Положим

Тогда, как легко проверить, операторы действуют на векторы по тем же формулам, что и операторы в пространстве на векторы Однако между могут существовать нетривиальные линейные соотношения. Следовательно, пространство представления можно отождествить с фактор-пространством где инвариантное подпространство, определяемое этими соотношениями. Ввиду неприводимости должно быть максимальным инвариантным подпространством, отличным от Но, как мы видели выше, такое подпространство определяется однозначно. Теорема доказана.

Замечание 1. Вместо свободной ассоциативной алгебры в доказательстве этой теоремы мы могли бы рассматривать алгебру с образующими для которых выполняются соотношения

где числа а определяются из соотношении коммутации для элементов ей Алгебра изоморфна, таким образом, алгебрам

Замечание 2. Циклическое представление со старшим весом X может быть построено также при помощи левых сдвигов в алгебре У. Действительно, положим

Множество является левым идеалом в и отсюда следует, что левые сдвиги в X индуцируют некоторое представление в фактор-алгебре Нетрудно проверить, что изоморфна алгебре из предыдущего замечания и представление в задается теми же формулами, что