§ 92. Базис Картана — Вейля

Если выбрать базис в алгебре и корневых подпространствах то мы получим базис во всей алгебре Найдем соотношения коммутации между элементами этого базиса. Прежде всего докажем, что имеет место

Теорема 2. Пусть X — полупростая комплексная алгебра Ли. Тогда:

1° Все корневые подпространства одномерны.

2° Линейная оболочка трех векторов образует в алгебре X трехмерную подалгебру, изоморфную

3° Если нормировать векторы условием то для всякого

Доказательство. Поскольку форма Киллинга — Картана невырождена на паре то существует пара векторов для которых

Нормируем эти векторы условием и положим

Докажем, что Для этого рассмотрим произвольный элемент и заметим, что (в силу теоремы 1) Следовательно,

Поскольку корень а ненулевой, то существует вектор для которого Следовательно, Далее, в силу теоремы 1 векторы являются собственными относительно

где -значение корня а на векторе Если то согласно общей формуле, полученной в конце § 86, мы имеем для каждого корня Отсюда, как и на стр. 394, следовало бы, что В результате Полагая

получаем, как легко проверить, закон коммутации в алгебре Следовательно, алгебра изоморфна Далее, рассмотрим линейное пространство

где дополнение в к направлению вектора Подпространство Z инвариантно относительно и след оператора в этом подпространстве есть где С другой стороны, след коммутатора равен нулю, откуда В частности,

и если является корнем, то уже не являются корнями алгебры Теорема доказана.

Замечание 1. Помимо утверждений, включенных в формулировку теоремы, мы доказали еще следующее утверждение:

4° Единственными кратными корня а в алгебре X являются корни Если то

Следствие. В алгебре X существует базис из элементов и корневых векторов , где произвольный ненулевой вектор из

Полученный базис называется базисом Картана — Вейля. В нем мы можем непосредственно выписать все соотношения коммутации. Коммутатор для

которого имеет место тождество мы условимся отождествлять с корнем а и обозначим тем же символом а. Тогда имеем

Последнее равенство вытекает из общего правила коммутации между с учетом одномерности При этом, разумеется, если а не является корнем. Для окончательного описания законов коммутации достаточно найти коэффициенты Мы докажем пока только следующее утверждение:

5° Если а является корнем, то

Для доказательства достаточно заметить, что является матричным элементом трехчленной алгебры Точнее, пусть минимальное и максимальное из целых чисел для которых является корнем, и — линейная оболочка корневых векторов Тогда подпространство инвариантно относительно и вектор является собственным вектором относительно с собственным значением Заменяя, как при доказательстве теоремы 2, а на получаем цепочку собственных значений вида с Согласно теории представлений алгебры это возможно только в том случае, когда такая цепочка симметрична относительно нуля и представление в пространстве неприводимо. При этом все веса с должны встречаться без пропусков и «повышающий» оператор должен быть отличен от нуля на каждом весовом базисном векторе, за исключением старшего. Поскольку еаер мы получаем нужное утверждение.

Замечание 2. Отметим некоторые свойства симметрии коэффициентов Прежде всего за счет антисимметричности коммутатора Далее, пусть — ненулевые корни, для которых а тогда из тождества Якоби для элементов находим

С другой стороны, а корни лежат в пересечении двух плоскостей. Если эти плоскости не совпадают, то корни коллинеарны, откуда ввиду условия а и свойства 4° заключаем, что хотя бы один из корней обращается в нуль. Поскольку этот случай исключен, то

Замечание 3. Из свойства симметрии для цепочки с построенной при доказательстве утверждения 5°, заключаем, в частности, что с т. е.

Здесь минимальное и максимальное из целых чисел, для которых является корнем. Мы существенно воспользуемся этим замечанием в дальнейшем.