§ 71. Матричные элементы d(a)

В заключение этой главы укажем простую общую формулу для матричных элементов Мы определяем эти элементы из разложения

где ортонормальный базис Гельфанда — Цейтлина. Нетрудно видеть, что производящая функция является одним из таких элементов:

где индекс нумерует старший вектор Действительно, условие означает, в частности что эрмитово сопряжение переводит преобразования группы в преобразования группы следовательно, Условие

показывает, что функция является старшим вектором относительно двусторонних сдвигов на группе G. Поскольку линейная оболочка функций неприводима относительно этих сдвигов, то ясно, что всякая такая функция может быть получена из посредством понижающих операторов.

Нам будет удобно ввести несколько необычные обозначения для инфинитезимальных операторов левого и правого сдвигов на G. Условимся операторы левого сдвига записывать слева, а операторы правого сдвига — справа от функции полагая соответственно, что в записи оператор А действует раньше В. Положим

где означает строку и столбец матрицы g (элементы этой матрицы рассматриваются как независимые переменные). Тогда операторы являются, образно говоря, «операторами подстановки» индекса вместо индекса Для выяснения вопроса, какие из этих операторов являются повышающими и какие понижающими, удобнее всего использовать явный вид -функции:

откуда видно, что операторы аннулируют эту функцию при Следовательно, операторы, «понижающие индекс», нам приходится рассматривать как повышающие. Положим теперь

где коэффициенты в обеих формулах одни и те

Напомним, что где Для каждой схемы рассмотрим всевозможные разности и положим

Теорема 8. Произвольный матричный элемент представления может быть выражен в виде

где — производящая функция нормировочные множители, явный вид которых дается теоремой 6.

Доказательство. Формула

показывает, что каждая строка матрицы преобразуется согласно при правых сдвигах В частности,

откуда ясно, что функции преобразуются по закону ортонормального базиса в Следовательно,

и функции выражаются аналогичным образом через операторы левого сдвига:

В свою очередь каждая из этих функций является старшим вектором для строки Следовательно,

Теорема доказана.

Напомним, что согласно глобальной теореме функции взаимно ортогональны по отношению к скалярному произведению

где интеграл берется только по подгруппе Операции унитарны по отношению к этому скалярному произведению. Если считать, что мера Хаара нормирована условием , то

где - размерность представления Однако при фиксированном а мы можем перенормировать эту меру таким образом, чтобы

Полученная формула для является дифференциальной формулой типа формулы Родрига для полиномов Лежандра. Мы можем записывать эту формулу несколько иначе. Прежде всего, имеем

Следствие 1. Если выбрать в группе G параметры (на всюду плотном множестве) при помощи «инверсного разложения Гаусса» то

где операторы действуют только на параметры и операторы действуют только на параметры I

Действие диагональных операторов проще всего учитывать, не выполняя дифференцирования, но вычисляя вес вектора, к которому они применяются. Если принять такое соглашение, то мы получаем также

Следствие 2. Значение функции в произвольной точке может быть вычислено следующим образом:

где рассматриваются соответственно как дифференциальные операторы по параметрам и

Наконец, поскольку в этой формуле дифференциальные операторы применяются только в точке естественно попытаться заменить на их значения в единичной точке, на

соответственно. Заметим, например, что оператор может быть переписан в виде

Такая запись была получена нами при доказательстве леммы 10 (через биномы Теперь, поскольку все операторы умножения собраны слева, мы можем без труда положить т. е. заменить на . В результате получаем оператор

который по-прежнему может быть переписан в виде

Здесь коэффициенты с легко вычисляются из «весовых» соображений (они отличаются от заменой каждого множителя на Подобную операцию можно произвести и над всем произведением Однако останавливаться на этом подробно не будем.

Мы уже видели в гл. V, что функции при выражаются через полиномы Якоби. Несомненно, представляет интерес исследование этих функций при произвольном в терминах классической теории специальных функций.

В этой главе мы собрали основную информацию о строении неприводимого представления Ключом к получению этих результатов являются для нас индикаторные системы, построенные автором в 1961 г. ([83], [84]). Однако выбор базиса в пространстве и явные формулы для инфинитезимальных операторов в этом базисе были предложены Гельфандом и Цейтлиным [72] еще в 1950 г. Эти авторы предлагают готовый ответ на задачу, справедливость которого может быть проверена, например,

путем непосредственного вычисления соотношений коммутации. Редукция с группы на подгруппу не указана в этой работе явно, но достаточно очевидна из структуры параметров, определяющих базисные векторы. Наш подход состоит в предварительном доказательстве теоремы о редукции, откуда удается получить не только матричные элементы инфинитезимальных операторов, но и структуру операторов понижения.

Понижающие операторы были найдены первоначально также в статье [84]. Вслед за тем в работе [142] эти операторы были выражены через операторы рождения и уничтожения, и также найдена нормировка базисных векторов. Мы использовали символику, предложенную в [142], при вычислении соотношений коммутации между операторами и также частично следовали этой работе при вычислении нормирующих множителей (§ 69). Близкие результаты были получены в [155]. Формула типа Родрига для матричных элементов была получена в [84]. Недавно И. М. Гельфанд и М. И. Граев [66] получили пыражение для матричных элементов через обобщенные «бета-функции».

Заметим, что индикаторные системы действуют далеко не в полную силу при доказательстве теоремы о редукции. В действительности в этом доказательстве достаточно было бы использовать гораздо более простой критерий (см. сноску на стр. 298). Однако в следующих двух главах мы укажем дальнейшие приложения индикаторных систем. В гл. XVI дается построение индикаторных систем для каждой надкомпактной группы Ли.