§ 83. Основные типы алгебр Ли

Рассмотрение присоединенного представления естественно приводит к основной классификации групп и алгебр Ли. Мы начнем с рассмотрения алгебр Ли.

Определение 1. Алгебра X называется редуктив ной, если ее присоединенное представление вполне приводимо.

Если алгебра X редуктивна, то (прямая сумма), где неприводимые подпространства относительно присоединенного представления. Условие инвариантности может быть выражено следующим образом:

где символ означает линейную оболочку всех коммутаторов вида Но это означает, что идеал. Следовательно, все подпространства являются идеалами в алгебре

Условие редуктивности значительно упрощает изучение алгебры Действительно, заметим, что

содержится одновременно в Следовательно,

и в то же время Отсюда заключаем, что закон коммутации в алгебре X вполне определяется структурными законами в подалгебрах Иначе говоря, прямое разложение

является в то же время разложением алгебры X в прямую сумму (минимальных) идеалов.

Каждый идеал обладает тем свойством, что его присоединенное представление неприводимо. Следовательно, изучение алгебры X сводится к рассмотрению таких идеалов.

В дальнейшем мы увидим, что целесообразно специально выделить тот случай, когда подалгебра коммутативна. Поскольку идеал, то мы имеем также Но это означает, что содержится в центре алгебры (Следовательно, в редуктивной алгебре всякий коммутативный идеал является центральным.) Из минимальности получаем в этом случае, что Желая исключить подобные слагаемые, приходим к следующему определению:

Определение 2. Алгебра X называется полупростой, если она редуктивна и центр ее равен (0).

Если алгебра X полупроста, то она не содержит ни одного коммутативного идеала (кроме (0)). В частности, алгебра X не содержит ни одного одномерного идеала. Обратно, если выполняется хотя бы одно из этих условий, то алгебра X не содержит центральных элементов (кроме 0); следовательно, алгебра X полупроста. Если алгебра X полупроста, то все ее неприводимые идеалы удовлетворяют условию

Определение 3. Алгебра X называется простой, если ее присоединенное представление неприводимо и, кроме того,

Таким образом, коммутативные (абелевы) алгебры Ли выделяются в особый класс. Отметим очевидные связи между выделенными классами алгебр Ли:

1° Всякая редуктивная алгебра Ли есть прямая сумма своего центра и полупростой подалгебры.

2° Всякая полупростая алгебра Ли есть прямая сумма простых идеалов.

Пример 1. Алгебра является редуктивной с одномерным центром.

Пример 2. Алгебра является простой, если

Пример 3. Алгебра является полупростой, если

До сих пор мы рассматривали только редуктивные алгебры. В общем случае мы можем привести присоединенное представление только к квазитреугольному виду. Это означает, что алгебра X по-прежнему разлагается в прямую сумму подпространств но мы имеем

Все операторы задаются в этом разложении квазитреугольными матрицами с диагональными блоками где

Эти диагональные блоки мы называем компонентами присоединенного представления. Разложение

называется максимальным, если все диагональные блоки являются неприводимыми представлениями алгебры Очевидно, максимальное разложение всегда возможно. Компоненты мы называем этом случае

неприводимыми компонентами присоединенного представления.

Заметим, что пространства являются идеалами. Максимальность разложения алгебры X означает, что фактор-пространство неприводимо при каждом где положено Подпространства вообще говоря, не являются идеалами. Если это так для всех то алгебра X является редуктивной. С другой стороны, представляет интерес выделение следующего частного случая:

Определение 4. Алгебра X называется разрешимой, если все неприводимые компоненты коммутативны.

Если алгебра X рассматривается над комплексным полем, то в силу леммы Шура все неприводимые компоненты в этом случае одномерны, т. е. . (В вещественном случае Следовательно, в комплексном случае все операторы одновременно приводятся к треугольной форме.

Среди разрешимых алгебр Ли специально выделяется еще один подкласс.

Определение 5. Алгебра X называется -тентной, если

В этом случае все операторы одновременно приводятся к треугольному виду с нулями на главной диагонали.

В последующих параграфах мы рассмотрим несколько подробнее соотношения коммутации во всех указанных типах алгебр Ли и сформулируем для этих типов иные определения, эквивалентные вышеизложенным.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)