Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 34. Теория представлений конечных группВсякая конечная группа, очевидно, является компактной; следовательно, вся предыдущая теория применима к этому частному случаю. (Все доказательства, лежащие в основе этой теории, можно было бы повторить применительно к этому случаю, заменяя интегралы суммами.) Однако теория конечных групп и их представлений обладает и своими индивидуальными «арифметическими» особенностями. Прежде всего, из глобальной теоремы непосредственно вытекает Теорема 4 («1-я теорема Бернсайда»). Если конечная группа G имеет порядок
где Действительно, групповая алгебра
дает искомое выражение для размерности, поскольку Теорема
где Для доказательства этой теоремы рассматривается центр групповой алгебры 3, который, как мы знаем, состоит из всевозможных функций, постоянных на классах сопряженных элементов, т. е. представляет собой в данном случае линейное пространство размерности х. Поскольку всякая такая функция разлагается по характерам
где одномерное пространство В дальнейшем мы увидим, что все такие «арифметические» закономерности сохраняются в известном смысле и для произвольной компактной группы Ли, однако при этом они приобретают «аналитическое» содержание (вместо числа элементов группы или классов сопряженных элементов рассматриваются размерности соответствующих аналитических многообразий). Пример. Симметрическая группа
обозначает подстановку, которая состоит в перемещении предмета с места 4 на место
напоминает закон умножения матриц (все индексы
где каждый цикл
которая производится над предметами, стоящими на местах
(f - число циклов), мы можем заключить, что всякий набор таких чисел однозначно нумерует произвольный класс сопряженных элементов Заметим, что группа
в произвольном фиксированном базисе
и соответствующего ей линейного преобразования Теорема о точном линейном представлении для конечной группы доказывается тривиально, поскольку уже регулярное представление этой группы (левое или правое) является конечномерным и точным. Однако, анализируя это представление, мы получаем в действительности более сильное утверждение: Теорема 6. Всякая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе в симметрической группе Действительно, записывая элементы
мы рассматриваем точки
мы можем рассматривать как преобразование базиса в пространстве
во всем пространстве Поскольку точка Предлагается в качестве упражнений доказать самостоятельно следующие утверждения: 1. Если все неприводимые представления конечной группы G одномерны, то группа G коммутативна. (Указание: использовать вторую теорему Бернсайда.) 2. Всякая коммутативная конечная группа изоморфна прямому произведению нескольких циклических групп (циклическая группа порядка В частности, первое из этих утверждений замечательно в том отношении, что является примером информации, даваемой системой всех неприводимых представлений группы G относительно структуры самой группы G (идея двойственности, см. § 23).
|
1 |
Оглавление
|