§ 14. Преобразования в классе тензоров

С каждой линейной группой G тесно связана серия геометрических преобразований, порождаемых этой группой в классе тензоров. Для полноты изложения мы напомним в этом параграфе основные свойства тензоров и условимся в некоторой системе обозначений.

Пусть два линейных пространства одинаковой конечной размерности я; векторы из мы будем обозначать латинскими буквами векторы из греческими буквами Фиксируя в каждом из пространств произвольный линейный базис, мы отождествляем векторы с соответствующими столбцами координат. Билинейная форма

где штрих означает транспонирование, является одним из важнейших объектов в линейной алгебре и геометрии. Если рассматривать как основное векторное пространство, то функции являются линейными формами на и уравнения определяют всевозможные гиперплоскости, проходящие через начало координат. Пространства называют сопряженными, дуальными или двойственными.

Пусть векторы подвергаются линейным преобразованиям (каждый в своем пространстве). Преобразования называются дуальными или контрагредиентными, если их совместное применение не изменяет формы

Поскольку то указанное правило сохранения переписывается также следующим образом: откуда ввиду произвольности заключаем, что матрица совпадает с единичной: В результате имеем

Эта формула дает явное выражение преобразования, контрагредиентного к Заметим, что это преобразование является автоморфизмом группы G при условии, что G сохраняется при транспонировании.

Пусть координатная запись вектора в базисе Преобразование в пространстве можно рассматривать как переход к новому базису с координатами х. Равенство показывает, что символы преобразуются по тому же закону, что и координаты дуального вектора По этой причине преобразование называется ковариантным (преобразование по закону базиса).

В дальнейшем мы условимся использовать обозначение вместо Векторы будут называться ковариантными, векторы контравариантными.

Напомним определение тензорного произведения двух линейных пространств Для каждой пары элементов вводится формальное произведение которое предполагается дистрибутивным по обоим

сомножителям. Очевидно, имеем

где координаты х относительно базиса ей координаты у относительно базиса Пространство определяется как линейная оболочка всевозможных векторов Из этого определения следует, что векторы образуют базис в Z.

Согласно этому определению произвольный вектор из Z имеет вид где произвольные числа. Следовательно, Z имеет размерность где Векторы вида представляют собой лишь частный случай элементов из Z. Действительно, всякий минор матрицы равен нулю, за исключением миноров порядка 1.

Пусть векторы х, у подвергаются линейным преобразованиям (каждый в своем пространстве). Тогда произведение также подвергается линейному преобразованию, которое обозначается символом

и называется тензорным произведением операторов Если легко проверить, что матрица с имеет элементы относительно базиса Основное свойство тензорных произведений выражается следующей формулой: если то

Иначе говоря, композиция двух преобразований равносильна композиции компонент в пространстве X и одновременной композиции в пространстве У.

В частности, пусть тензорное произведение экземпляров пространства Каждому линейному преобразованию в пространстве отвечает преобразование

где кратное произведение определяется индуктивно. Как следует из основного свойства тензорных произведений, матрица удовлетворяет условию мультипликативности: кроме того, где единичный оператор в Следовательно, является гомоморфизмом группы G в группу линейных преобразований пространства Точно так же в пространстве мы имеем преобразование

которое является гомоморфным образом преобразования Наконец, при произвольных мы можем рассматривать гомоморфизм

причем преобразование действует в

Векторы пространства называются контравариантными тензорами ранга векторы пространства ковариантными тензорами ранга Наконец, векторы пространства называются смешанными тензорами раз контравариантными и раз ковариантными.

Наряду с символикой «строка — столбец» мы будем также пользоваться обычной символикой индексов. Координаты векторов из будут записываться в виде Закон преобразования при этом записывается следующим образом:

где Здесь мы считаем, что нижний индекс у матрицы является индексом суммирования; поэтому матрица в действительности встречается в транспонированном виде.

Таким образом, с каждым преобразованием связана целая серия тензорных преобразований. Хорошо известно, какую роль играют эти преобразования в геометрии и физике.

Вместо тензоров иногда практически удобно бывает рассматривать полилинейные формы. Заметим вначале,

что если то свертка

является инвариантом группы G. Если, в частности, тензор является произведением векторов х, у, то мы получаем общий вид ковариантной полилинейной формы.

Нетрудно видеть, что коэффициенты этой формы могут быть выражены в свою очередь как значения формы на соответствующем наборе базисных векторов

Допустим, что векторы подвергаются преобразованию и тензор подвергается соответствующему преобразованию Пусть новая форма с коэффициентами Свойство инвариантности свертки может быть выражено формулой

Отсюда в свою очередь следует явный вид преобразованной формы:

Очевидно, рассмотрение полилинейной формы с законом преобразования равносильно рассмотрению тензора Точно так же вместо контравариантного тензора мы можем рассматривать контравариантную форму с законом преобразования

Форма называется симметричной (ко-сосимметричной) по паре аргументов, скажем х и у, если она не меняется (меняет знак) при перестановке этих аргументов. Соответствующий тензор также является симметрическим (кососимметрическим) при перестановке соответствующих тензорных индексов.

Примером формы, кососимметричной по всем переменным, является детерминант:

Более того, как известно, эта форма определяется условием кососимметричности однозначно, с точностью до числового множителя. Мы уже однажды воспользовались этим свойством в § 7.

Подобно тому как произвольный тензор ранга может быть заменен полилинейной формой, произвольный симметрический ковариантный тензор может быть заменен полиномом

от единственного вектора Действительно, числовые значения полинома вполне определяют симметрический тензор коэффициентов. Формула

определяет соответствующее преобразование в классе полиномов. Точно так же можно рассматривать полиномы с законом преобразования

Данное нами определение линейной группы исключает, согласно традиции, «бесконечномерные линейные группы», т. е. группы линейных преобразований в бесконечномерных векторных пространствах. Тем самым получаем специальный класс групп Ли, поддающийся сравнительно простому описанию. Более подробно с некоторыми свойствами классических групп и тензоров можно ознакомиться в монографии Вейля [9].

Линейные группы, сохраняющие квадратичные формы, являются частным случаем так называемых алгебраических групп. Теория этих групп развита главным образом в работах Шевалле ([46], т. II); для этих групп удается независимо получить ряд глубоких результатов, дублирующих «аналитическую» теорию. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. XVI.