ГЛАВА XI. ХАРАКТЕРЫ

Пусть произвольная группа. Каждому ее конечномерному представлению поставим в соответствие числовую функцию

Эта функция называется характером представления среди линейных комбинаций матричных элементов она играет особую роль. Прежде всего, очевидно, что функция инвариантна относительно внутренних автоморфизмов:

Иначе говоря, постоянна на классах сопряженных элементов в группе G. Далее, если компактная группа Ли, то согласно глобальной теореме множество всех характеров, отвечающих неприводимым представлениям, образует полную ортогональную систему в классе функций, удовлетворяющих условию

Характер обладает также и другими замечательными свойствами, некоторые из них мы отметим в конце главы. Основным содержанием этой главы является прямое вычисление характеров неприводимых представлений группы . С этой задачей тесно связана также еще одна задача, допускающая геометрическую интерпретацию, — построение весовой диаграммы представления

§ 72. Инвариантная мера на группе U(n)

Пусть инвариантная мера Хаара на группе нормированная так, что объем всей группы равен единице. Ввиду соотношения нас будет интересовать разложение

приводящее произвольную матрицу к диагональной матрице у. Выясним, можно ли рассматривать

параметры как параметры в Если это так, то естественно будет записывать в виде

где — соответствующий якобиан.

Пусть множество всех диагональных матриц в группе Вводя угловые параметры, запишем произвольную матрицу в виде

Если фиксировать у, то преобразующая матрица в искомом разложении определяется неоднозначно. Произвол в определении этой матрицы выражается соотношением

Иначе говоря, матрица должна коммутировать с матрицей у. Если у имеет различные собственные значения, то это возможно только в случае

Пусть подмножество в выделяемое условием Поскольку это подмножество получается из выбрасыванием конечного числа поверхностей вида оно имеет полную размерность в Если то мы видим, что преобразующая матрица определяется с точностью до произвольного левого диагонального множителя:

Следовательно, можно считать, что множество преобразующих матриц отождествляется с множеством В дальнейшем ввиду произвольности диагонального множителя мы определенным образом специализируем преобразующую матрицу

Далее, если фиксировать то диагональная матрица у определяется с точностью до перестановки собственных значений. Следовательно, разбивается на областей, в каждой из которых имеется «представитель» у, отвечающий матрице и. Полагая

мы получаем одну из таких областей. Все остальные получаются из нее с помощью подстановки. Если у пробегает пробегает то мы получаем, очевидно, в группе G многообразие полной размерности. В этом смысле можно говорить, что пара параметризует

Найдем соотношения между дифференциалами всех рассматриваемых матриц. Дифференцируя обе части равенства находим, что

Умножим полученное равенство справа на и для каждой матрицы х положим в результате получим

Заметим, что ввиду унитарности матрицы и матрица дифференциалов является косоэрмитовой: однако при вычислении якобиана переменные можно, как известно, считать формально независимыми. При этом переход от матрицы и к матрице имеет единичный якобиан. Следовательно, искомый якобиан со совпадает с якобианом следующего преобразования:

Запишем это преобразование в матричных элементах. При этом используем произвол в выборе преобразующей матрицы Нетрудно видеть, что за счет подбора диагонального (левого) множителя можно добиться выполнения условия для всех диагональных элементов матрицы Выписывая отдельно диагональные

и недиагональные матричные элементы, получаем, что наша система уравнений распадается:

Для вычисления якобиана достаточно найти модуль произведения всех выражений, стоящих в круглых скобках. Заметим, что при транспозиции индексов это выражение заменяется сопряженным. Положим

При умножении круглых скобок знаменатели можно не учитывать, поскольку В результате получаем окончательное выражение для якобиана :

где черта означает комплексное сопряжение. Множитель мы нормируем таким образом, чтобы

Рассмотрим теперь произвольную функцию постоянную на классах сопряженных элементов, т. е. такую, что

Для краткости такие функции мы будем называть функциями классов. Имеем

где нормирующий множитель. Для вычисления этого множителя положим тогда левая часть обращается в единицу ввиду условий нормировки, и, следовательно, Заметим, что функция симметрична относительно перестановки собственных значений. Следовательно, оба интеграла по можно рассматривать (одновременно) либо по множеству

либо по всей группе Окончательно имеем

где оба интеграла берутся по -мерному тору