§ 127. О вычислении собственных значений операторов Казимира

В гл. IX мы воспользовались -мерным представлением алгебры для вычисления собственных значений ее операторов Казимира. Аналогичное построение нетрудно провести и для других классических алгебр Ли.

Условимся записывать фундаментальную билинейную форму для в том же виде, как и в гл. XVI, и занумеруем все координаты числами где с пропуском нуля при четном Тогда соотношения коммутации в алгебре Ли записываются следующим образом:

при соответствующем выборе базисных операторов где положено

причем при при при Нетрудно проверить, что при этом выборе базиса следующие операторы являются операторами Казимира:

Из рассмотрений предыдущего параграфа нетрудно заключить, что среди таких операторов содержится система образующих центра для и для при нечетном В последнем случае при четном достаточно добавить еще один оператор Казимира:

где сумма берется по всем наборам индексов и их перестановкам при этом знак отвечает четности или нечетности перестановки. Не останавливаясь на вычислениях, приведем окончательные результаты ([123]).

Условимся записывать старший вес в виде сигнатуры с соотношениями порядка, указанными в гл. XVI. Введем в рассмотрение треугольную матрицу с элементами

где линейные формы от и все коэффициенты даются следующей таблицей:

Кроме того, матрица определяется следующим образом: при при Нетрудно видеть, что если индексы расположены в порядке возрастания (от до то матрица является нижней треугольной.

Пусть означает собственное значение оператора в неприводимом представлении Тогда имеет место следующая формула:

где степень матрицы и постоянная матрица, у которой все матричные элементы равны единице. Для собственного значения оператора получается следующий результат:

Из полученных результатов (за исключением последнего) не видна непосредственно симметрия собственных значений относительно группы Вейля. Однако по аналогии с § 60 можно получить следующий результат: где собственное значение матрицы а и где положено

При этом полагается также откуда (для алгебры Умножая каждый оператор на степень вспомогательной переменной и суммируя по от до , получаем «производящую

функцию» операторов

Путем несложных преобразований можно привести эту функцию также к виду где положено

Из этих выражений становится уже очевидной симметрия собственных значений относительно группы Вейля.

Замечание 1. Замечательной особенностью -мерных линейных представлений, использованных при получении указанных результатов, является простота весового спектра. Иначе говоря, каждый вес в таком представлении встречается с кратностью единица. Подобными представлениями обладают также алгебры Если взять за основу такое линейное представление полупростой комплексной алгебры X, то все указанные выше результаты легко обобщаются на этот случай.

Замечание 2. Как мы видели в предыдущем параграфе, каждому оператору Казимира отвечают два полинома на алгебре Н: с Первый из этих полиномов непосредственно определяет структуру оператора С, второй означает его собственное значение в Березину [51] удалось установить непосредственную связь между этими полиномами. Тем самым возникает еще один метод явного вычисления собственных значений.

В заключение этой главы приведем без доказательства (см. [57], [143]) порядки образующих операторов Казимира для исключительных алгебр Картана:

Отсюда легко вычисляется также порядок группы Вейля: где порядок образующей. Числа тесно связаны ([143]) с важнейшими топологическими характеристиками соответствующей группы Ли (числа Бетти, полином Пуанкаре).

Упражнения

(см. скан)

Независимое рассмотрение полупростой комплексной алгебры Ли позволяет, как мы видим, получать простые алгебраические доказательства многих фактов глобальной теории. Классификация

неприводимых представлений была впервые получена Э. Картаном [97] путем пересмотра в отдельности каждого типа простых алгебр Ли . Общее доказательство было получено почти одновременно Хариш-Чандрой [138] и Шевалле (доказательство Шевалле не опубликовано). Здесь мы излагаем упрощенный вариант доказательства Хариш-Чандры, принадлежащий Н. Джекобсону [19]. Одним из преимуществ алгебраического доказательства является возможность рассмотрения также некоторых бесконечномерных (экстремальных) представлений алгебры Ли. Кроме того, на этом пути возникает также доказательство существования особых алгебр Картана ([19]). Остальные библиографические ссылки были сделаны непосредственно в тексте. Результаты упражнений 5 и 6 сообщены автору Э. Б. Винбергом.