§ 28. Аппроксимационная лемма для линейной группы G

Мы желаем пока миновать самую сложную часть теоремы, которая касается точной линейной представимости группы G. Поэтому будем считать, что группа G линейна, и докажем все остальные утверждения теоремы.

Лемма 5. Пусть система всевозможных неприводимых представлений, которые встречаются при разложении тензоров, преобразуемых группой G. Тогда всякая непрерывная функция может быть равномерно, с любой степенью точности, аппроксимирована линейными комбинациями матричных элементов

Наиболее просто лемма 5 может быть доказана с помощью теоремы Стоуна — Вейерштрасса, известной из функционального анализа Утверждение этой теоремы состоит в следующем. Допустим, что 31 — некоторое множество непрерывных функций на компакте X, обладающее свойствами:

1° является алгеброй (по отношению к обычному сложению и умножению функций);

2° содержит единицу (т. е. функцию );

3° вместе с каждой функцией содержит функцию ;

4° «разделяет точки» компакта X в том смысле, что для любой пары точек найдется функция принимающая в различные значения.

Тогда любая непрерывная функция на компакте X может быть равномерно аппроксимирована элементами алгебры Я.

Предположим теперь, что множество определяется, согласно условиям леммы, как линейная оболочка матричных элементов и докажем, что в этом случае свойства выполняются. Действительно, если перемножить два матричных элемента, то мы получаем матричный элемент представления которое снова содержится в классе тензоров и, следовательно, разлагается по некоторым неприводимым представлениям (правило полной приводимости), но тогда изучаемый матричный элемент является линейной комбинацией матричных элементов этих неприводимых представлений, т. е. содержится в множестве . Следовательно, является алгеброй. Поскольку в число тензоров включаются и тензоры нулевого ранга (скаляры), то содержит единицу. Далее, функция является матричным элементом представления которое контрагредиентно и поэтому также содержится в классе тензоров. Наконец, поскольку группа линейна, то сама матрица (преобразующая тензоры первого ранга, т. е. векторы) разделяет точки группы. Лемма доказана.

Впрочем, поскольку G содержится в евклидовом пространстве, при доказательстве этой леммы можно было бы воспользоваться и классической теоремой Вейерштрасса.