2.4. РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА

Основное понятие нечеткого множества, приведенное в предыдущем разделе, называют нечетким множеством первого рода. Кроме этого исследуют многочисленные расширенные понятия. Обычно в прикладных задачах в большинстве случаев рассматривают именно множества первого рода. Однако с точки зрения методов представления нечеткой информации имеется несколько существенных моментов. Поэтому рассмотрим кратко другие нечеткие множества.

В основном определении нечеткого множества (формула (2.40)) для каждого элемента полного множества X задается вещественная числовая оценка Другими словами, это поточечное определение для каждого элемента Следовательно, нечеткая информация оценивается вещественным числовым значением в [0, 1] при условии, что каждый элемент фиксируется и рассматривается отдельно.

Если же [0, 1] заменить на что-нибудь другое, что дает преобразование двузначной точной оценки [0, 1] в нечеткую неограниченную многозначную оценку, то можем получить различные специальные понятия нечеткости. Ниже выделим наиболее важные из них.

Например, пусть принадлежность к А оценивается в 80%, т.е. примем Если при этом спросить: обязательно ли есть 0,8, почему не 0,7 или то нередко можно услышать: 0,8 это примерно, оценка может меняться в ту или иную сторону. Поэтому вместо указания конкретного значения в [0, 1] с помощью нижнего и верхнего значений задают допустимые пределы оценки, например может принимать значения в [0,7; 0,9]. Так вводится понятие нечеткого множества, определенного на интервале (рис. 2.13,б). Конечно, здесь можно возразить: значение 0,7 для нижней границы ничем не лучше 0,69. О верхней границе 0,9 можно сказать тО же самое. Поэтому предлагается

Рис. 2.13. Оценочные значения в расширенных понятиях нечетких множеств. а - нечеткое множество первого рода; б - нечеткое множество со значениями в интервале; в - нечегкое множество второго рода; г - вероятностное множество; д - нечегкое множество, определенное на лингвистических переменных; е - нечеткое множество на решетке.

понятие нечеткого множества второго рода, для которого не используются точные оценки в определенном интервале, а за значения принимается нечеткое множество над значениями оценки в [0, 1] (рис. 2.13, в). В противоположность этому понятию основное нечеткое множество по формуле (2.40) называют нечетким множеством первого рода. Нечеткое множество второго рода обозначают следующим образом;

В общем случае если U, V - множества, то представляет собой отображение областей определения множеств, при котором область значений V принимается за

Следовательно,

Затем можно вновь говорить о том, что дать оценку мы не можем и поэтому лучше ввести нечеткое представление и т. д., в общем случае предлагается нечеткое множество рода, которое определяется следующим образом

Кроме того, предлагается понятие вероятностного множества, в определении которого в оценочные значения вносятся вероятностные элементы. Другими словами, это метод, при котором в качестве указывают распределение вероятностей в [0, 1] так, что в случае если имеет значение, вероятность равна 0,8, в других случаях - 0,7 (рис. 2.13. г).

Существует мнение, что не обязательно использовать числовые оценки. Предложено понятие нечеткого множества, определенного на лингвистических переменных (рис. . По сути оценки как результат мышления человека - это слова (например: «осталась какая-то неудовлетворенность, но в целом все нормально») и не так просто выразить оценку в числовом виде. Но почему бы не использовать такую словесную оценку непосредственно. Этот метод полезен для представления и приобретения знаний при построении экспертных систем и при введении знаний экспертов в базы данных.

Но, даже говоря о словесных оценках, мы все равно должны прийти к некоторой упорядоченной структуре этих оценок, оставаясь в четком мире. Поэтому предложен ряд методов представления оценок в виде упорядоченных множеств (таких, как нечеткие множества на булевых переменных, нечеткие множества на решетках, нечеткие множества -типа, нечеткие множества на полуупорядоченном множестве и т. п.).

Однако с практической точки зрения (в частности, для промышленного применения) почти все нечеткие множества в составе механических систем, как правило, представляются как нечеткие множества первого рода. Даже если до этапа приобретения знаний оценки представляются словами, проектировщики систем чаще всего интерпретируют такую информацию

с помощью функции принадлежности со значениями в [0, 1] и обрабатывают ее. В данной книге будут рассматриваться преимущественно нечеткие множества первого рода со значениями в [0, 1]. «Преимущественное» представление в виде оценки в [0, 1] в большинстве случаев означает, что на уровне аппаратных средств используется режим тока [0,5 мкА] или режим напряжения [0,5 В], а на уровне программного обеспечения с целью повышения быстродействия вычислений используются целые числа от 0 до 1000 либо 16 или 256 дискретных значений, упакованные в 4 или 8 бит.