2.3. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Рассмотрим снова формулу (2.7), определяющую характеристическую функцию четкого множества А в полном пространстве X, равную 1, если элемент удовлетворяет свойству А, и равную 0 в противном случае. Таким образом, речь шла о четком мире, в котором наличие или отсутствие заданного свойства определялось значениями 0 или 1 («нет» или «да»).

Однако в мире очень многое не делится только на белое и черное. Скорее это в порядке вещей. Например, в ответ на вопрос: «Не считаете ли Вы возможным привлечь господина к участию в этом проекте?» нередко можно услышать: «Не думаю, что это хорошая кандидатура, но другой нет, поэтому придется это сделать». Было бы неправильно ставить в один ряд «да» в этом смысле и «да» в смысле «разумеется, господин подходит». Поэтому профессор Калифорнийского университета Заде опубликовал в 1965 г. в журнале «Информация и управление» статью «Нечеткие множества», в которой он расширил двузначную оценку 0 или 1 до неограниченной многозначной оценки выше 0 и ниже 1 в и впервые ввел понятие «нечеткое множество». Фигурные скобки используются для обозначения множества, а квадратные и круглые скобки соответственно для обозначения замкнутого и открытого интервала действительных чисел. Например:

Кроме того, Заде вместо термина «характеристическая функция» использовал термин «функция принадлежности».

Нечеткое множество А в полном пространстве X определяется через функцию принадлежности следующим образом:

(Вместо терминов «нечеткое множество», «функция принадлежности» иногда используют другие: «размытое множество», «функция адекватности» и т. д. Кроме того, вместо иногда используют обозначения Для того чтобы отличить нечеткое множество А от четкого, нередко вводят обозначение А.)

Чаще всего определение нечеткого множества интерпретируют следующим образом: «величина обозначает субъективную оценку степени принадлежности множеству А, например означает, что на 80% принадлежит А». Следовательно, должны существовать «моя функция принадлежности», «твоя функция принадлежности», «функция принадлежности специалиста и т. д. В случае графического представления диаграмму Венна на рис. 2.1 часто заменяют концентрическими окружностями, как на рис. 2.8, а. Кроме того, в случае функционального представления прямоугольный график на рис. 2.2 преобразуют в колоколообразный график, как на рис. 2.8, б.

Обратим внимание на связь четкого и нечеткого множеств. Два значения принадлежат замкнутому интервалу [0, 1]. Следовательно, четкое множество является частным случаем нечеткого множества, а понятие нечеткого множества является расширенным понятием, охватывающим

Рис. 2.8. Графическое представление нечетного множества. а - представление функции принадлежности с помощью концентрических линий; б - колоколообразная функпия принадлежности.

и понятие четкого множества. (Другими словами, четкие множества на рис. 2.1 и 2.2 являются также и нечеткими множествами. Вместо термина «четкое множество» иногда используют термин «неразмытое множество», но слово «неразмытое» может быть понято в смысле «не являющееся нечетким множеством», поэтому термин «неразмытое множество» мы не будем здесь использовать.)

Нечеткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности. Другими словами, логика определения понятия нечеткого множества не содержит какой-либо нечеткости (про нечеткую логику говорят, что она взята с потолка или создана спустя рукава). Дело в том, что нечеткое множество строго определяется с помощью оценочных значений [0, 1] в I, а это и есть функция принадлежности. В случае когда пространство X ограничено, эти значения указывают из чисто практических соображений, например в одном из методов указания функции принадлежности используются знаки разделителя / и ИЛИ +. Например, пусть X - множество целых чисел, меньших 10, определенное формулой (2.3), тогда нечеткое множество А «маленьких чисел» можно обозначить в виде

Здесь, например, означает При этом опускают члены со значениями функции принадлежности, равными 0.

Можно рассматривать различные операции над нечеткими множествами по аналогии с четкими множествами. Наиболее распространенные определения отношения вложения дополнительного нечеткого множества, произведения нечетких множеств и суммы нечетких множеств обычно записываются в следующем виде:

Графически с помощью колоколообразной функции принад лежности эти понятия изображены на рис. 2.9.

Если обозначить через совокупность всех нечетки

Рис. 2.9. Основные операции над нечеткими множествами. а - отношение вложения А с В; б - дополнительное нечеткое множество ; в - произведение нечетких множеств ; г - сумма нечетких множеств А В.

множеств в X, то система , очевидно, не образует булеву алгебру. Однако для операции с справедливы рефлексивность, антисимметричность, транзитивность. Кроме того, легко доказать также законы идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, двойного отрицания и закон де Моргана. Но не выполняется закон комплементарности, т. е. в случае нечеткого множества выполняются соотношения

причём равенство не удовлетворяется, что видно из рис. 2.10.

Рис. 2.10. Невыполнение закона комплементарности.

Рис. 2.11. Степень а нечеткого множества

Однако все другие законы выполняются, и система образует так называемую полную псевдобулеву алгебру.

Кроме указанных выше операций можно определить (неограниченно) много операций над нечеткими множествами. Среди них отметим лишь те, которые являются важными с практической точки зрения.

Прежде всего определим унарную операцию степени а нечеткого множества А (показатель степени а - положительный параметр) следующим образом:

Если представить графически наиболее часто используемые степени 2 и 1/2, то получим рис. 2.11. Когда с помощью нечеткого множества А представляют некоторую нечеткую информацию, тогда сужает диапазон ее определения (уточняет его). Поэтому можно сказать, что это «более чем» А, кроме того, расширяет диапазон, т.е. это «почти что» А. Аналогично, степени 4 и 1/4 часто используют, интерпретируя их как более чем более чем (более чем) и т. д. Однако если бы А было четким множеством, то степени 1 и 0 не изменили бы значения 1 или О, поэтому и А, и А представляли бы одно и то же. Определение степени было бы возможным, но бессмысленным.

Рассмотрим бинарные операции. Вместе с произведением множеств часто используются алгебраическое произведение , граничное произведение , драстическое произведение 1) :

Вместе с суммой множеств часто используют алгебраическую сумму , граничную сумму , драстическую

сумму :

Иллюстрирует эти понятия рис. 2.12.

Кроме того, важны понятия разности нечетких множеств и абсолютной разности А — В:

Все указанные выше бинарные операции существуют и для четких множеств, но если мы начнем их преобразовывать в нечеткие множества, то появится возможность определять огромное число других бинарных операций. Среди таких операций назовем часто используемую операцию -суммы параметр, больший 0 и меньший 1):

Это - среднее А и В с весами (или выпуклое линейное объединение первого порядка А и В). При это - арифметическое среднее (данная операция приводит к результату, не принадлежащему множеству {0, 1}, поэтому для четких множеств подобное определение невозможно). Между произведением, суммой и .-суммой множеств

Рис. 2.12. Упорядоченные операции произведения и суммы нечетких множеств. а - произведения нечетких множеств, б - суммы нечетких множеств.

справедливо следующее строгое соотношение вложения:

что легко доказать, проверив соответствующие неравенства для функций принадлежности.