5.2. Моделирование крупных систем

Экономические проблемы, проблемы охраны окружающей среды, сохранения ресурсов и многие др. сводятся К моделированию крупных нелинейных систем, в которых тесно переплетены разнородные переменные. Для их моделирования А. Г. Ивахненко предложил групповой метод обработки данных (ГМОД) [5]. Этот метод не требует априорных знаний о структуре системы, а позволяет моделировать нелинейную систему на основе принципа эвристической самоорганизации по входным и выходным данным. В данном разделе в основном рассмотрен нечеткий ГМОД, отождествляющий параметры модели с нечеткими числами, и приведен пример его применения. Метод целесообразно применять для моделирования нечетких явлений.

5.2.1. ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРВАЛЬНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ

Нечеткие линейные регрессионные модели, или вероятностные линейные регрессионные модели [7, 8], уже строго формализованы. Ниже рассмотрим наиболее простой случай нечетких чисел - линейные интервальные регрессионные модели, основанные на понятии интервала.

В качестве математической модели нечетких явлений часто используют линейные интервальные системы, коэффициенты которых заданы на интервале:

где - известные переменные, - интервалы. Интервал можно описать следующим образом с использованием его центра и ширины

Если -нечеткое число, его можно считать треугольным нечетким числом с центром и шириной

Интервальный выход Y для формулы (5.1) можно вычислить следующим образом:

где - векторы-строки, - вектор-столбец. Приведем пример:

т. e. получен интервал с центром 2 и шириной 4.

Отношения вложения двух интервалов можно представить следующими неравенствами:

Рассмотрим метод получения линейной интервальной регрессионной модели линейной интервальной системы. Пусть N - число заданных входных и выходных данных; обозначим их через . При этом - выходные или наблюдаемые переменные, - входной вектор или объясняемые переменные. Оценочная линейная интервальная модель

    (5.5)

строится следующим образом.

1. Заданные наблюдаемые значения включаются в оценочный интервал т. е. для всех

2. Ширина оценочного интервала определяется как Желательно, чтобы эта ширина была наименьшей. Поэтому будем минимизировать сумму значений ширины оценочного интервала, т. е. будем определять интервальные коэффициенты , минимизирующее сумму

Требования (1) и (2) можно привести к следующей проблеме линейного программирования:

Другими словами, путем решения проблемы линейного программирования с ограничивающим условием (1) и целевой функцией (2) можно получить оценочные интервальные коэффициенты .

Регрессионный анализ линейных интервальных систем тем самым сведен к проблеме линейного программирования, поэтому можно ввести знания специалистов о коэффициентах. Например, об коэффициенте есть весьма смутные знания, но известно, что он заключен в интервале Тогда оценочный интервальный коэффициент следует вложить в т. е. ввести ограничение А, а Используя формулу (5.4), запишем

Если добавить это ограничение и решить проблему линейного программирования (выражение (5.7)), то можно получить оценочные интервальные коэффициенты А, отражающие знания специалиста.

Из приведенной выше формализации можно сделать следующие выводы.

1. Заданные данные имеют ограничения, поэтому решение проблемы линейного программирования существует при любых заданных данных.

2. Увеличение числа данных расширяет оценочный интервал. Увеличение числа данных для решения можно интерпретировать как приобретение новой информации или расширение возможности оценки. При традиционном линейном регрессионном анализе чем больше число данных, тем меньше интервальная оценка, поэтому это свойство отличается от свойств изложенного выше метода.

3. Если между объясняемыми переменными наблюдается подчиненность, при традиционном регрессионном анализе знак оцениваемых коэффициентов меняется на обратный. Если при регрессионном анализе на интервале есть смутные знания о коэффициенте, это знание можно ввести как ограничение в формуле (5.8). Следовательно, возможно моделирование с учетом знаний специалиста и структуры заданных данных.

4. Для моделирования нечетких явлений необходимо уметь отражать наше частичное незнание о явлении. Именно так можно интерпретировать интервальные коэффициенты.

5. Получаемая линейная интервальная модель содержит

все заданные данные, поэтому ее нельзя интерпретировать как модель с тенденцией к центрированию, как в традиционном регрессионном анализе. Эта модель отражает вероятности, свойственные данным.