3.8.4. КЛАСТЕРИЗАЦИЯ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

Кластерный анализ используется не только при распознавании изображений. В общем случае он находит широкое применение при классификации данных. Существуют самые разные методы, но они имеют в большинстве случаев статистический характер. В то же время для выполнения статистических расчетов требуется, чтобы число данных было существенно больше числа кластеров. В медицине и астрономии имеется много данных, которые не удовлетворяют этому условию. Ниже мы рассмотрим результаты исследования выделения признаков из сравнительно небольшого числа данных, в котором одновременно использовались статистические методы и теория возможностей [46].

Пусть - функция принадлежности нечеткого множества . Для некоторого действительного положительного числа определим следующее множество как -образ

Для другой функции принадлежности нечеткого множества определим следующую функцию, ограниченную на -образе

Эта функция ограничена на А и называется функцией возможности. Пусть - элемент А, тогда справедливы следующие свойства:

1) с увеличением степени принадлежности к А монотонно возрастает и значение функции возможности;

Выделение признаков из данных осуществляется следующим образом. Пусть в -мерном пространстве признаков есть N данных, образующих множество X. Сначала с использованием статистических методов (тест на однородность) выбираются одномерных подпространств, затем, применяя те же методы, из сочетаний двумерных подпространств выбираются двумерных подпространств. Среди оставшихся сочетаний с использованием соответствующей функции возможности выполняется поиск признаков.

В статистических методах разбиение осуществляется по условию превышения взаимного расстояния между данными некоторого порогового значения. Это пороговое значение выбирается таким образом, чтобы вероятность Q того, что получаемое при этом число кластеров будет отличаться от теоретического числа кластеров в предположении пуассоновского распределения данных, была меньше некоторого значения.

Функция возможности предназначена для определения формы кластера и нахождения признаков. Например, при кластер в виде круга однороден, а в виде эллипса - имеет признаки продольности. Форму кластера можно характеризовать моментами второго порядка относительно осей, т. е. для момента можно записать

где а - направление оси. Представляя два эталонных кластера (круг и линия) нечеткими множествами, соответственно С и Т, путем сравнения можно определить принадлежность некоторого кластера А к С или Т.

В статье [46] в качестве функций возможности выбраны две функции: нечеткая энтропия и расстояние Миньковского, и с помощью моделирования показано, чтос разделимость по нечеткой энтропии более высокая. Функции возможности этих типов имеют следующий вид:

где по оси j эталонной формы ; - число эталонных кластеров, h - размерность осей вращения; ту- момент данных по оси

Этот метод был использован при кластеризации данных, полученных от больного с нарушениями мозговой деятельности. Число выборок N составило 46, число характерных

Рис. 3.66. Примеры кластеризации данных. а - ; б - ; в - CU-HB.

параметров для части данных параметры отсутствовали. С помощью теста на однородность при выбраны одномерные подпространства и получено Из числа двумерных подпространств, полученных из оставшихся одномерных были выбраны подпространств, удовлетворяющих тесту на однородность при том же значении Q. Наконец, оставшаяся часть была разграничена с помощью функции возможности, в качестве которой были опробованы и Результаты частично показаны на рис. 3.66. Они почти полностью совпадают с восприятием этих данных человеком.