2.2. ТОЧНАЯ ЛОГИКА

Ниже мы рассмотрим точную логику (логику компьютеров или двузначную булеву алгебру) как основу для изучения нечеткой логики. Речь пойдет о двузначном мире «да» и «нет» или «истина» и «ложь»; на уровне аппаратных средств рассматривают значения напряжений 0 и 5 В, но в общем случае можно представить два значения {0, 1}.

Итак, можно считать, что компьютеры состоят из последовательностных схем, указанных на рис. 2.4. Каждая из входных переменных и каждая из выходных переменных в некоторый момент времени имеют одно из двух значений: 0 или 1. Кроме того, эти переменные изменяются одновременно по базовому сигналу управления, называемому тактовым импульсом. Если отношение входов и выходов записать в виде функции, то получим

Здесь переменные правой части включают также т. е.

Рис. 2.4. Последовательностная схема.

это так называемая рекурсивная формула, поэтому в следующий момент времени все выходные значения определяются в зависимости от предысторий всех входов до текущего момента времени

Если изменения значений с течением времени фиксировать с помощью функции памяти, можно обсуждать отношения входов и выходов в фиксированный момент времени. Таким образом, сместив на второй план временные факторы, с помощью комбинаторных схем можно реализовать только отношения входов и выходов (рис. 2.5). Формулы комбинаторных схем с входами и выходами можно записать в виде

Здесь выходных переменных, но их уже можно рассматривать по отдельности одну за другой, поэтому без ограничения общности можно считать число выходов равным 1. Другими словами, можно рассматривать и входов и один выход. При этом отношение входов и выхода можно обозначить как

Такая функция называется булевой функцией и переменных, а ее конкретная реализация - комбинаторной схемой.

Прежде всего рассмотрим наиболее простой случай

Как показано на рис. 2.6, б, в этом случае существуют четыре

Рис. 2.5. Комбинаторная схема.

Рис. 2.6. Комбинаторные схемы с одним входом и одним выходом: а - схема с одним входом и одним выходом; б - четыре отношения входа и выхода; в - вентиль НЕ (инвертор); г - представление последовательности с помощью диаграммы Хассе.

отношения входа и выхода. Среди них важна операция НЕ; элемент, реализующий эту операцию, носит название инвертора или вентиля НЕ (рис. 2.6, в). Кроме того, на рис. 2.6, г представлена диаграмма Хассе, задающая последовательность этих четырех операций: 0 и 1 сравниваются поразрядно, выше размещаются пары с большими значениями, и пары, которые можно сравнивать, соединены линиями (в этом случае не соединены линией, поскольку (0, 1) и (1, 0) не сравнимы).

Далее рассмотрим случаи двух входов:

В этом случае существует 16 отношений входов и выхода (рис. 2.7,б). Среди них - самые важные операции И, ИЛИ, НЕ-И, HE-ИЛИ, исключающее ИЛИ-EXOR (рис. 2.1, в). Представление последовательности операций с помощью диаграммы Хассе дано на рис. 2.1, г. Если подобным образом рассмотреть схемы для то найдем комбинаторных схем с входами и одним выходом. Поэтому

(см. скан)

Рис. 2.7. Комбинаторные схемы с двумя входами и одним выходом. а - комбинаторная схема с двумя входами и одним выходом; отношений входов и выходов; в - обозначения, двухвходовых схем; г - представление последовательности с помощью диаграммы Хассе.

уже при их число достигнет 65536, т. е. происходит так называемый комбинаторный взрыв. Однако достаточно изучить схемы до . Дело в том, что справедливы следующие три равнозначных утверждения.

1. Любую булеву функцию можно синтезировать путем применения к входным переменным операций НЕ, И, ИЛИ.

2. Любую булеву функцию можно реализовать с помощью синтеза операций НЕ-И над входными переменными

3. Любую булеву функцию можно реализовать с помощью синтеза операций HE-ИЛИ над входными переменными

Если представить эти утверждения в терминах аппаратных средств, получим:

а) любую комбинаторную схему можно построить только с помощью инверторов, вентилей И и ИЛИ;

б) любую комбинаторную схему можно построить только с помощью вентилей НЕ-И;

в) любую комбинаторную схему можно построить только с помощью вентилей НЕ-ИЛИ.

Если рассматривать последовательностные схемы и учитывать временные факторы, то в качестве базовых элементов памяти можно использовать триггеры и другие подобные элементы, однако их тоже можно построить с помощью указанных выше вентилей. Поэтому говорят, что НЕ, И, ИЛИ, НЕ-И и HE-ИЛИ образуют полные системы в булевой алгебре, и в целом этого достаточно для понимания логики компьютера.

Однако в компьютерах искусственного интеллекта, и прежде всего в компьютерах пятого поколения, в нечетких компьютерах, основанных на нечетких логических выводах (приближенных рассуждениях), удобно на первый план выдвинуть операции, отличные от этих базовых операций. Одна из них соответствует операции приведенной на рис. 2.7, б. Она называется импликацией. Обычно эту операцию обозначают стрелкой: и читают так: если то Здесь называют антецедентом, предпосылкой, условием, допущением, а -заключением, выводом, операцией. Если представить в виде таблицы значения операции импликации (в общем случае такая таблица называется таблицей истинности), то получим табл. 2.1. Часть, обведенная штриховой линией (читается так: если условие есть ложь то. независимо от заключения операция есть истина иногда не вполне понятна людям, начинающим изучать логику.

Можно доказать (это легко сделать с помощью таблицы истинности или другим способом), что операцию импликации можно реализовать следующим образом с помощью

Таблица 2.1. Таблица истинности операции импликации

полной системы НЕ, И, ИЛИ:

Эту формулу необходимо запомнить как одно наиболее важных свойств этой операции.

В общем случае при логических выводах в искусственном интеллекте выполняется силлогизм, в основе которого лежат подобные операции импликации. Силлогизм можно представить несколькими формулами. Например, формула

представляет собой вывод утверждений «если птица, то летает», «если летит, то направляется на тот вон остров» заключения «если птица, то направляется на тот вон остров». Формула

представляет вывод из утверждений «если птица, то летает» и «это животное - птица» заключения «это животное летает». Следующая формула

представляет вывод из утверждений «если птица, то летает»

и «это животное не летает» заключения «это животное не птица» (при этом исключения мы не принимаем во внимание). При изучении нечетких выводов с расчетом на их применение важное значение имеет формула (2.35), называемая «модус поненс». Кроме того, вывод типа «если птица, то летает» или знание типа «если - то называют процедурными знаниями, а знания типа утверждения «это животное - птица» - декларативными знаниями.