2.5. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА

Так же как в основе теории четких множеств лежит четкая логика, в случае нечетких множеств существует нечеткая логика - основа для операций, рассмотренных в разд. 2.3. В случае двузначной четкой логики существуют полные системы, образуемые операциями НЕ-И-ИЛИ, НЕ-И и НЕ-ИЛИ. С их помощью можно записать все другие логические операции. Но в случае нечеткой логики можно создать неограниченное число операций, поэтому нет смысла говорить о записи всех операций с помощью некоторого числа базовых операций. Учитывая это, ограничимся наиболее важными операциями.

Для начала рассмотрим расширения НЕ, И, ИЛИ до нечетких операций. Назовем эти расширения соответственно нечетким отрицанием, -нормой и -нормой. В нечетком мире число состояний неограниченно велико, поэтому невозможно описать эти операции с помощью таблицы истинности, как в случае двузначной логики. Поясним эти операции, используя функции и несколько аксиом, а затем представим образы этих операций с помощью графиков.

Нечеткое отрицание аналог четкой операции НЕ- представляет собой бинарную операцию отрицания в нечетком смысле оценки [0, 1], дающую в ответе оценку [0, 1]. Аксиоматическое определение записывается в виде

Здесь аксиома N сохраняет свойство двузначного НЕ и означает, что «нечеткое отрицание 0 равно 1», другими словами, является граничным условием. Следующая аксиома является правилом двойного отрицания, утверждающим, что взятие дважды отрицания возвращает нас к исходной оценке. Это достаточно сильное требование, но если его опустить, то будут несправедливы некоторые известные свойства, и в настоящее время это требование включают в набор аксиом нечеткого отрицания. Последняя аксиома наиболее существенное требование понятия «отрицание»: «нечеткое отрицание инвертирует (в смысле строгого неравенства) последовательность оценок (т.е. меняет местами хорошие и плохие оценки)». Если отложить на оси абсцисс, а - на оси ординат, то отрицание можно интерпретировать как монотонную строго убывающую функцию.

Все функции, удовлетворяющие аксиомам являются нечетким отрицанием. Типичная операция нечеткого отрицания - «вычитание из 1»:

С точки зрения нечетких множеств это соответствует понятию дополнительного нечеткого множества (формула Легко доказать, что выражение (2.66) удовлетворяет трем аксиомам:

Кроме того, очевидно, что при , т.е. неизменно, в этом смысле 0,5 является центральным значением, и обычно принимают симметричные значения относительно 0,5. Как указано выше, операция «вычитание из 1» является типичной операцией нечеткого отрицания, и с точки зрения практического применения нет особых возражений против того, чтобы в качестве нечеткого отрицания использовалась именно эта операция.

Однако для более глубокого понимания сущности аксиом приведем несколько результатов, выводимых из аксиом

Результат 1.

Этот результат получаем сразу, если подставим и применим Следовательно, использование (2.69) вместо не имеет смысла, но заменив на формулу (2.63) и (2.69), мы получим эквивалентную систему аксиом.

Результат 2. График по оси абсцисс, а по оси ординат симметричен относительно наклонной под 45° к линии, проведенной из начала координат. Это следует из того, что если существует точка то существует точка и они расположены симметрично относительно линии с углом наклона 45°.

Результат 3. График является непрерывным монотонным строго убывающим. Доказательство непрерывности достаточно сложно, поэтому мы его опустим.

Итак, как следует из сказанного выше, существует неограниченное число простых нечетких отрицаний (рис. 2.14). Еще раз отметим, что среди них на практике часто используют прямую линию (выражение (2.66)). Разработано несколько нечетких логических схем, реализующих эту операцию и служащих основным элементом нечетких компьютеров. Для их обозначения используют обозначение, указанное вверху на рис. 2.14.

Нечетким расширением И является -норма (или триангулярная норма). В общем случае -норма, так же как и

Рис. 2.14. Нечеткие отрицания.

рассмотренная ниже -норма, - это понятия, изучаемые скорее математиками, чем инженерами, но их удобно использовать при обсуждении нечеткой логики; как схема -норма - это схема с двумя входами и одним выходом, как функция - это функция двух переменных. Известны 4 аксиомы -нормы:

Аксиома справедлива также для четкого И (это граничные условия). Т2 и Т3-законы пересечения и объединения, на аппаратном уровне их можно интерпретировать в виде: «входные контакты равнозначны, нет необходимости их различать», «если проектировать трех- и более входовые элементы с помощью двухвходовых, то можно не различать порядок их объединения». Аксиома является требованием упорядоченности и гарантирует, что «введение третьей оценки не изменит порядок оценок». Типичной -нормой является операция или логическое произведение

Оно соответствует понятию пересечения нечетких множеств, представленному формулой (2.18). Формула (2.75) практически удовлетворяет аксиомам поэтому доказательство мы опустим. График данной операции см. на рис. 2.15.

Рассмотрим геометрический смысл обычной -нормы в случае ее графического представления на рис. 2.15. Из аксиом следует, что область определения т. е. соответствующие значения, находится на сторонах единичного куба в плоскости . Другими словами, из аксиомы следует, что на стороне единичного куба образуется линия на стороне линия в плоскости Кроме того, если использовать симметричность аксиомы то на стороне получается прямая линия а на стороне -линия в плоскости Таким образом, значения в четырех вершинах единичного куба являются также значениями четкой операции И (рис. 2.16). К тому же из

Рис. 2.15. Логическое произведение .

Рис. 2.16. Граничные условия обычной -нормы.

Рис. 2.17. Часто используемые -нормы, а - алгебраическое произведение б - граничное произведение в - драстическое произведение

аксиомы очевидно, что график симметричен относительно плоскости, образуемой наклонными

Возникает вопрос: какие еще -нормы можно построить кроме логического произведения по формуле ? С практической точки зрения важными операциями являются алгебраическое произведение граничное произведение и драстическое произведение

Соответствующие им операции над нечеткими множествами задаются формулами (2.48)-(2.50). Графики представлены на рис. 2.17. Из этих графиков видно, что справедливо соотношение

Помимо указанных можно создать бесконечное число других -норм. Например, Янгер, Франк, Вебер, Швейцер и др. вывели формулы, задающие неограниченное число -норм с одним вещественным параметром. Однако при любом способе создания -нормы можно показать, что последняя непременно будет расположена между драстическим и логическим произведениями. Первое - минимальное, а второе - максимальное среди всех -норм.

Нечеткое расширение называется также -конормой, ее можно обсуждать вместе с -нормой. Среди аксиом только граничное условие отличается от случая -нормы, остальные аксиомы те же самые:

    (2.80)

Типичной -нормой является логическая сумма, определяемая с помощью операции

Кроме нее существуют алгебраическая сумма граничная сумма и драстическая сумма

Характеристики этих операций приведены на рис. 2.18, а-г.

Рис. 2.18. Типичные -нормы. а - логическая сумма б - алгебраическая сумма в - граничная сумма г - драстическая сумма

Как видно из этих рисунков,

т.е. порядок операций обратный, нежели в случае -нормы.

Очевидно, что обычная -норма должна удовлетворять граничным условиям (рис. 2.19), аналогичным условиям в случае -нормы. Кроме того, можно показать, что минимальная -норма - это логическая сумма, а максимальная -норма - драстическая сумма.

Возможны различные варианты нечеткого отрицания, -нормы и -нормы, но среди всех операций удобнее всего выбрать такие, которые удовлетворяют следующим граничным условиям:

Для четких множеств эти условия соответствуют закону де Моргана, в нашем случае они называются нечетким законом де Моргана. Используя аксиомы нечеткого отрицания, -нормы и -нормы, из одной из этих формул можно вывести другую, поэтому достаточно указывать только одну из них. Если справедлива формула (2.90) или (2.91) (а следовательно, и обе одновременно), то соответствующие -норма и -норма называются взаимно дуальными на основе соответствующего нечеткого отрицания. Показано, что если нечеткое отрицание есть вычитание из 1, то взаимно дуальными являются логические произведение и сумма, алгебраические произведение

Рис. 2.19. Граничные условия обычной -нормы.

и сумма, граничные произведение и сумма, драстические произведение и сумма. На практике обычно используют логические операции, а алгебраические и граничные операции используют время от времени. Драстические операции имеют непрерывные характеристики, но они важны в том смысле, что являются нижней границей -нормы и верхней границей -нормы, хотя на практике они почти не используются.

Причины, по которым лучше использовать стандартные логические операции, состоят в том, что их физический смысл вполне очевиден, а система ([0, 1] ), с математической точки зрения имеет лучшие характеристики, чем полная псевдобулева алгебра. Не выполняется только закон комплементарности

а все другие свойства, справедливые и в четкой логике, также справедливы (например, если использовать в качестве -нормы алгебраическое произведение, то закон идемпотентности не выполняется и не образуется решетка). В четкой логике в формуле (2.92) всегда будет равенство, и такой закон комплементарности называют также законом противоречия или законом исключенного третьего. Закон противоречия гласит: «некоторое свойство и отрицание этого свойства одновременно несправедливы», а закон исключенного третьего «некоторое свойство и отрицание этого свойства охватывают все состояния, никакого промежуточного состояния нет». Эти законы специфичны для четкого мира двузначных оценок. В нечеткой логике, которая допускает также некоторые промежуточные оценки, можно считать вполне естественным то, что эти законы несправедливы.

В нечеткой логике важной является также операция нечеткой импликации, но о нечетких выводах речь пойдет в следующем разделе.