2.6. НЕЧЕТКИЕ ВЫВОДЫ

Нечеткие выводы, нечеткие или приближенные рассуждения (в последнее время в английской литературе чаще используют последний термин) - это наиболее важный метод в нечеткой логике. Выводы в четком искусственном интеллекте охватывали как частный случай все нечеткие выводы,

поэтому экспертные системы, построенные на четкой методологии искусственного интеллекта, можно считать частным случаем нечетких экспертных систем. Но и в нечетких экспертных системах, применяя на этапе исследований помимо правил четкие выводы с помощью фреймов или других методов, во многих случаях изучают также возможность их расширения до уровня нечетких выводов. Однако почти все реально работающие прикладные системы, активно использующие промежуточные нечеткие оценки, в это настоящее время либо системы, основанные на правилах, а именно нечетких продукционных правилах, либо реляционные системы, использующие нечеткие отношения. Работу и тех и других систем теоретически можно объяснять с единых позиций использования композиционных правил нечетких выводов, но внешне реальные технические алгоритмы выводов в каждом случае имеют существенные отличия, поэтому ниже рассмотрим их по отдельности.

Поясним на простом примере, как выполняются нечеткие выводы по правилам. Пусть существуют знания эксперта о том. что необходимо открыть спускной клапан, если уровень воды поднимается. Это знание можно представить с помощью нечеткого продукционного правила типа «если ... то ...» следующим образом:

Здесь выражение, стоящее после если, называют антецедентом, предпосылкой, условием и т. п., а выражение, стоящее после то, - заключением, операцией и т.п. В нашем случае важно описать предпосылку и заключение в виде нечеткого отношения. Другими словами, в исходное выражение не попади данные о том, каков уровень воды в метрах, на какой угол поворачивается клапан. Однако сам эксперт это знает. Например, если мы спросим у него: «Высокий уровень воды - это сколько метров?» - то получим ответ: «Примерно 2 м». При этом интерпретация с помощью нечеткого множества, например

гораздо более точно отражает мысль эксперта, нежели строгая интерпретация его слов: «До 1,9 м еще невысокий уровень, а начиная с 2,0 м - высокий». Аналогично угол поворота клапана, если принять 90° за полное открытие, можно описать с помощью следующей функции принадлежности:

Человек, проектирующий данную систему, создает из правил в словесном представлении типа (2.93) конкретные функции принадлежности типа (2.94), (2.95). Обычно он следует следующему методу:

1) определяет значения методом вопросов и ответов или становится учеником эксперта;

2) поручает эксперту выполнение операции и воссоздает ситуацию из хронометрированных данных;

3) корректирует значения функции, получая наилучшие результаты из экспериментов, имитирующих данную ситуацию.

Если получить функции принадлежности, следуя указанному выше методу, то можно запомнить их в ЭВМ как базу знаний. Например, формулы (2.94) и (2.95) можно запомнить как информацию в одномерном массиве, индексы в котором соответствуют элементам полного пространства. Без ограничения общности будем считать, что нечеткие продукционные правила типа (2.93) накапливаются в базе знаний. Пусть также при наблюдении текущего уровня воды обнаружено, что

Уровень воды довольно высокий. (2.96)

Если наблюдения уровня воды возможны с большей точностью, то можно получить точную информацию, например: «уровень воды 1,7 м». Однако на практике нередки случаи, когда из-за особенностей промышленной системы информацию с достаточно хорошей точностью получить не удается (при этом учитывается погрешность измерения, которая меняет в ту или иную сторону значение 1,7 м) либо нет возможности установить устройство измерения уровня воды и, например, этот уровень вынуждены оценивать, постукивая по емкости и реагируя на звук. В подобных случаях удобно

принимать за информацию наблюдение (2.96), представленное с помощью нечеткого множества следующим образом:

Какую же операцию нужно проделать в такой ситуации? Другими словами, поставим задачу: определить нечто, отмеченное знаком в формуле

Разумеется, предпосылка ВЫСОКИЙ и наблюдение «довольно ВЫСОКИЙ» образуются путем сопоставления. В четкой логике сопоставление не имеет смысла, поэтому никакого логического вывода сделать нельзя. Однако мы говорим о человеке, а он, получив путем приближенного сопоставления вывод

должен слегка приоткрыть клапан. По сути он выполнил нечеткий вывод (точнее, провел приближенные рассуждения).

Если говорить о мышлении человека на лингвистическом уровне, то формула (2.99) представляет классический пример нечеткого вывода, но какие же вычисления нужно проделать в программе или внутри специальной микросхемы нечеткого вывода, где встроены функции принадлежности? Существует более ста методов преобразования нечетких выводов на лингвистическом уровне в вычисления, но если ограничиться только методом, наиболее часто используемым на практике, то все объяснения можно привести с помощью рис. 2.20. Здесь полное пространство предпосылок - уровни воды, а полное пространство заключений - углы работы клапана. Обозначим их соответственно через X и Y. Используя формулы (2.94) и (2.95), нечеткое продукционное правило (2.93) можно графически изобразить так, как на рис. 2.20, а (данные

между точками соответствующим образом интерполированы и показаны непрерывной линией). Кроме того, позаботимся об упрощении рассуждений и обозначим через А нечеткое множество ВЫСОКИЙ в предпосылке X и через В нечеткое множество ОТКРЫТЬ в заключении Y. Нечеткое множество «довольно ВЫСОКИЙ» в данных наблюдения X (сокращенно А) из формулы (2.97) можно представить так, как на рис. 2.20, б. На рис. 2.20, в графически изображен

Рис. 2.20. Классические примеры нечетких выводов по правилам

процесс классического нечеткого вывода. Справа как получен результат приближенного сопоставления предпосылки правила А и данных наблюдения А. Затем рассмотрим максимальное значение а как некую меру сопоставления А Л А, выполним редукцию по этой мере заключения В в правиле и получим результат вывода В (рис. 2.20, в). В качестве способа редукции В выбрано отсечение по мере сопоставления а (на рисунке а У означает, что

    (2.100)

Итак, для текущих данных наблюдения А' (= довольно ВЫСОКИЙ) в результате применения правила А -> В (= Если ВЫСОКИЙ, то ОТКРЫТЬ) получаем В' (= слегка ОТКРЫТЬ). Здесь результат вывода В является нечетким множеством в У, как показано на рис. 2.20, г. Однако пока никаких конкретных операций произвести нельзя. Дело в том, что на основе функции принадлежности для В необходимо еще извлечь для каждой точки в У значения для выполнения операции. Этот процесс обычно называют дефадчификацией. На рис. 2.20 для этих целей использован метод центра тяжести (ЦТ), определено примерное значение для операции (градусов) и принято решение повернуть клапан на 70°.

Приведем более детальные рассуждения с использованием введенных выше обозначений. Прежде всего знание эксперта отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому назовем его нечетким отношением и обозначим через

    (2.101)

можно рассматривать как нечеткое множество на прямом произведении полного пространства предпосылок X и полного пространства заключений У Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В с использованием данных наблюдения А и знания можно представить в виде формулы

    (2.102)

Здесь называется композиционным правилом нечеткого вывода. Кроме того, стрелка в правиле называется нечеткой импликацией. Можно ли каким-то образом записать указанные выше определения на уровне функций принадлежности? Фактически нечеткий вывод на рис. 2.20 является применением максиминной композиции в качестве композиционного правила нечеткого вывода и операции взятия минимума в качестве нечеткой импликации:

Отметим, что в качестве варианта формул (2.104) и (2.105) используются традиционные правила распределения для максиминной операции.

Наиболее часго (по мнению авторов) используемый и самый типичный метод нечетких выводов, показанный на рис. 2.20, представляет собой метод нахождения центра тяжести композиции максимум-минимум. Основываясь на приведенных выше объяснениях, читатели могут придумать различные варианты рис. 2.20. Например, вместо метода центра тяжести для дефадзификации предложен метод медианы (используется среднее значение (медиана)), метод весов (основан на переменной у, задающей максимальное значение принадлежности), вместо отсечения , получающего И по В и а, - метод применения сжатия а В заключения В по а и т. п. Перечислить все методы здесь практически

невозможно, их предложено более ста. Отметим только, что среди всех методов наиболее пригодным считается метод центра тяжести композиции максимум-минимум (рис. 2.20). Почти во всех современных СБИС нечетких выводов используется именно этот метод.

Ниже даны пояснения к операции нечеткой импликации с позиции нечеткой логики. Это очень важная операция, в основе которой лежит нечеткое отношение (2.101). Если зафиксировать элементы полного пространства и вернуться к значениям оценки в [0, 1], то нечеткую импликацию можно рассматривать как следующую функцию двух переменных или двучленное отношение в [0, 1]:

    (2.110)

Возьмем за образец случай четкой логики, в которой операция импликации задается табл. 2.1. В соответствии с формулой для четкого случая можно записать как Следовательно, если заменить НЕ на «вычитание из 1», а ИЛИ на максимум, то эта одна из стандартных операций нечеткой логики будет иметь вид

    (2.111)

Если в случае нечетких выводов попытаться заменить в формуле (2.104)

    (2.112)

то, очевидно, получим не слишком хорошие результаты.

Если для понимания смысла формулы (2.111) построить графики, аналогичные тем, что были созданы для -нормы и -нормы, то получим рис. 2.21, а. Здесь существуют четыре точные точки (жирные точки на рисунке): на них построены два треугольника. Однако с самого начала заданы только оси координат и эти четыре точки, поэтому скорее всего большинство читателей, получив задание - используя эти точки как промежуточные, построить два треугольника, - предпочтут этому рисунку рис. 2.21, б. Представив рис. 2.22,б в виде формулы, получим

    (2.113)

Эта формула представляет собой граничную сумму нечеткого

Рис. 2.21. Два типа операции нечеткой импликации

отрицания по типу «вычитание из 1» . В многозначной логике эта формула известна как импликация Лукашевича. Заде использовал эту операцию и предложил нечеткий вывод, сделав в формуле (2.103) следующую замену:

    (2.114)

На практике при проведении экспериментов в системах управления типа систем с задержкой первого порядка эта формула дает достаточно хорошие результаты. Кстати, Мамдами, указывая на перспективы внедрения нечеткого управления паровых турбин, получил неплохие результаты, используя метод композиции максимум-минимум в формулах (2.104)-(2.109).

В этом случае нечеткая импликация - это операция взятия минимума

    (2.115)

По свойствам эта операция представляет собой -норму типа логического произведения (рис. 2.15). При этом табл. -операции четкой импликации больше не существует. В случае когда предпосылка в этой таблице равна ложь), четкая импликация равна 1, а минимум - 0. В случае когда предпосылка неустойчива, имеет смысл рассматривать нечеткую импликацию как операцию взятия минимума, поскольку ответа получить нельзя.

Кроме данной формулы для операции нечеткой импликации предложено несколько конкретных формул, но на практике

операция взятия минимума используется чаще всего, поскольку она дает неплохие результаты. Иногда операция четкой импликации просто не существует, а нечеткая импликация типа -нормы или другого типа не образует аксиоматически упорядоченной системы.

Об основах нечетких выводов с помощью нечетких продукционных правил уже говорилось выше. Необходимо добавить несколько слов об уровне реализации. Прежде всего в базе знаний обычно хранится несколько знаний. Кроме того, в нечетких суждениях, описываемых в предпосылках и заключениях каждого правила, имеется несколько членов. Следовательно, в общем случае рассматривается база знаний типа

где - число правил, - число членов в предпосылке, - число членов в заключении. На практике чаще всего I имеет значение от нескольких единиц до 30 (иногда до 100), отношение принимает значение от 2:1 до 5:2. Однако число правил в экспертных системах с четкими правилами достигает нескольких сотен, а то и тысяч (иногда больше десяти тысяч). В отличие от них в случае нечетких экспертных систем число правил на порядок меньше. Это связано с тем, что каждое нечеткое правило детализируется в четком мире, а также с тем, что целое число представляется приближенно с помощью существенно меньшего числа правил. Часто высказывается мнение: «Можно обойтись на порядок или два меньшим числом нечетких правил по сравнению со случаем четкого мира». Тот факт, что число правил крайне мало, облегчает приобретение знаний от эксперта, упрощает отладку экспертной системы, позволяет строить систему с хорошим соотношением стоимость/производительность - эти и другие причины являются важными стимулами практического внедрения нечетких экспертных систем.

При выполнении практических операций методом композиции максимум-минимум с вычислением центра тяжести результат вывода по каждому правилу получается так, как на рис. 2.20. При этом часто используется метод, по которому за окончательный результат выводов принимается сумма нечетких множеств результатов вывода по каждому правилу (операция логической суммы или взятия максимума).

Иначе говоря, выбирается система параллельного запуска, используемая одновременно с каждым правилом.

Рассмотрим на простом примере элементы этой системы. Пусть число правил равно 3 и в каждом правиле по одной предпосылке и одному заключению, т. е. заданы следующие правила:

Здесь функции принадлежности R, С, L на нечетком уровне заданы так, как на рис. 2.22. Другими словами, R, С, L определяют соответственно понятие «правое», «центр», «левое», а формулы (2.117) - правила поведения несговорчивого человека, говорящего: «Если правое, то левое». Если в качестве данных наблюдения введено А (рис. 2.22, б), выясним, каким будет ответ, полученный методом композиции максимум-минимум с вычислением центра тяжести (ЦТ). А - это наблюдаемая информация «почти справа», имеющая пик на 0,5 правее, поэтому по правилам несговорчивого человека ожидается ответ «немного левее». И на самом деле, как показано на рис. 2.23, будет получен результат со значением ЦТ немного левее центра.

В традиционном процессе управления в некоторый момент времени наблюдается определяется операционное значение ЦТ так, как на рис. 2.23, выполняется действие по управлению, в следующий момент времени наблюдается новое А, вновь в соответствии с рис. 2.23 определяется операционное значение, выполняется действие и далее

Рис. 2.22. Пример нечеткого вывода по правилам. а функции принадлежности L. С. R на нечетком уровне; б - функция принадлежности наблюдаемой информации

Рис. 2.23. Простейшие примеры нечетких выводов.

процедура повторяется. В случае когда подобная система управления требует быстрой реакции, время выполнения одного нечеткого вывода от ввода А до вывода ЦТ должно быть очень небольшим. В качестве единицы измерения такого быстродействия часто используют FLIPS (число нечетких выводов в секунду). Быстродействие зависит от числа правил, числа членов и плотности полного пространства, но с помощью программ, выполняемых в обычных однокристальных микропроцессорах, можно добиться приемлемого для системы быстродействия. Например, при нечетком управлении метрополитеном с использованием 24 правил и 8-разрядного процессора достигнуто быстродействие 10 FLIPS, каждые 100 мс прогнозировалось положение подвижного состава через 3 с, что обеспечило плавное движение. Как видно из этого примера, техника нечеткого управления внедряется в промышленность как техника сокращения затрат труда.

В случае когда необходима еще более быстрая реакция, рассматривают вопрос аппаратной реализации нечетких выводов. На рынок уже выпущены несколько типов изделий. В настоящее время говорят уже о возможности обработки с быстродействием порядка 40 млн. FLIPS (один нечеткий вывод выполняется за время, равное времени прохождения светом 7,5 м в вакууме). Исследуется возможность применения подобных чипов нечетких выводов при управлении роботами, самолетами, ракетами и другими объектами.

Рассмотренные до сих пор нечеткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключениям. Они наиболее часто используются на практике. Однако в последние годы в диагностических нечетких экспертных системах начинают применять нисходящие выводы. Поэтому скажем о них здесь несколько слов. По существу это метод моделирования с помощью уравнения нечетких отношений.

Дадим пояснения на примере диагностической системы. Пусть полное пространство предпосылок X состоит из т факторов, а полное пространство заключений - из и симптомов:

    (2.118)

Например, рассмотрим упрощенную модель диагностики неисправности автомобиля при - неисправность аккумулятора, - отработка машинного масла, - затруднения при запуске, - ухудшение цвета выхлопных газов, - недостаток мощности. При этом между каждым членом предпосылок и каждым членом заключений существуют причинные отношения. Обозначим эти причинные отношения через или просто и назовем их нечеткими отношениями Если собрать вместе нечеткие отношения между всеми то получим матрицу строками и столбцами. Назовем ее матрицей нечетких отношений:

Для каждого как для нечеткого множества (первого рода) введем меру причинных отношений в виде вещественного числа в [0, 1]. Кроме того, предпосылки будем рассматривать как вход, а заключения - как выход. При этом указанные выше состояния можно рассматривать как состояния

Рис. 2.24. Моделирование с помощью нечеткой системы.

нечеткой системы, показанной на рис. 2.24. Конкретные предпосылки (входы) и заключения (выходы) можно рассматривать как нечеткие множества А и В на пространствах X и Y. Если отношения этих множеств обозначить как

    (2.121)

то возможна формализация задачи диагностики, как и в случае правил. Здесь является правилом композиции нечетких выводов. При этом направление выводов является обратным по отношению к направлению выводов для правил. Другими словами, в случае диагностики R идентифицируется по знаниям эксперта, наблюдаются выходы В (или симптомы), а определяются входы А (или факторы). Например, в приведенном выше примере диагностики неисправностей автомобиля знания автомеханика преобразуются в вид

Если подъехал автомобиль и в результате его осмотра обнаружились трудности при его запуске, а мощность и выхлопные газы в норме, то состояние можно оценить как

    (2.123)

Желательно определить причины

    (2.124)

такого состояния. В этом случае формулы (2.123) и (2.124) часто представляются в виде нечетких векторов-строк

    (2.126)

Тогда формулу (2.121) можно представить в виде

    (2.127)

либо, транспонируя, в виде нечетких векторов-столбцов

    (2.128)

что, по-видимому, более знакомо для читателей, изучавших матрицы и матричную алгебру. Здесь также в качестве правила композиции нечетких выводов изучаются различные способы, но традиционно чаще используют композицию максимум-минимум. В этом случае формулы (2.127) или (2.128) преобразуются в вид

    (2.129)

что можно рассматривать как моделирование с помощью системы уравнений первого порядка, если заменить сложение на максимум, а умножение на минимум. Решим эту систему. Прежде всего в выражении (2.129) второй член правой части не влияет на левую часть, поэтому получим

    (2.132)

Далее из выражения (2.130) получим

    (2.133)

Формулы (2.132) и (2.133) удовлетворяют выражению (2.131). Таким образом, получаем решение

    (2.134)

т.е. лучше заменить аккумулятор - мера несправности аккумулятора, мера отработки машинного масла).

На практике тип принимают значения от нескольких единиц до нескольких десятков, используют несколько типов

правил композиции нечетких выводов и часто имеют дело с двух- или трехкаскадными нечеткими системами. В данном примере решение получено как значения в отрезке (выражение (2.134)), в результате можно предложить максимальное [1,0, 0,1] или минимальное решение [0,9, 0]. В общем случае очевидно, что для композиции максимум-минимум существует единственное максимальное и несколько «меньших» решений. Разумеется, иногда решение отсутствует. С Практической точки зрения методов решения систем уравнений нечетких отношений еще недостаточно по сравнению с методами выводов по правилам, и в настоящее время пока не поставляются пакеты программ для решения таких систем.

Как сказано в начале главы, на теоретическом уровне изучаются другие разновидности нечетких выводов, например нечеткие выводы с применением фреймов. В ближайшем будущем с большой вероятностью новые методы найдут применение для решения практических задач.