Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:

Уравнение (2.14) есть, по существу, дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение – основная задача динамики материальной точки. При этом возможны две противоположные постановки задачи.
1. Найти действующую на точку силу $\mathbf{F}$, если известны масса $m$ точки и зависимость от времени ее радиусавектора $\mathbf{r}(t)$.
2. Найти закон движения точки, т. е. зависимость от времени ее радиуса-вектора $\mathbf{r}(t)$, если известны масса $m$ точки, действующая на нее сила $\mathbf{F}$ (или силы $\mathbf{F}_{i}$ ) и начальные условия – скорость $\mathbf{v}_{0}$ и положение $\mathbf{r}_{0}$ точки в начальный момент времени.
В первом случае задача сводится к дифференцированию $\mathbf{r}(t)$ по времени, во втором – к интегрированию уравнения (2.14). Математическая сторона этого вопроса достаточно подробно была рассмотрена в кинематике точки.

В зависимости от характера и постановки конкретной задачи решение уравнения (2.14) проводят или в векторной форме, или в координатах, или в проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке. Выясним, как записывают уравнение (2.14) в последних двух случаях.

В проекциях на оси декартовых координат.
Записывая обе части уравнения (2.14) в проекциях на оси $x$, $y, z$, получим три дифференциальных уравнения вида

где $F_{x}, F_{y}, F_{z}$ – проекции вектора $\mathbf{F}$ на оси $x, y$, $z$. Необходимо помнить, что эти проекции – величины алгебраические: в зависимости от ориентации вектора $\mathbf{F}$ они могут быть как положительными, так и отрицательными. Знак проекции результирующей силы $\mathbf{F}$ определяет и знак проекции вектора ускорения.

Проследим на конкретном примере, в чем заключается стандартный подход к решению задач с помощью уравнений (2.15).

Пример.
Небольшой брусок массы $m$ скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения равен $k$. Найдем ускорение бруска относительно плоскости (эта система отсчета предполагается инерциальной).

Прежде всего следует изобразить силы, действующие на брусок. Это сила тяжести $m \mathrm{~g}$, нормальная сила реакции $\mathbf{R}$ со стороны плоскости и сила трения $\mathbf{F}_{\text {тр }}$ (рис. 2.2), направленная в сторону, противоположную движению бруска.

После этого свяжем с системой отсчета «наклонная плоскость» систему координат $x, y, z$. Вообще говоря, систему координат можно ориентировать как угодно, однако во многих случаях выбор направления осей диктуется характером движения. В нашем случае, например, заранее известно направление движения бруска, поэтому наиболее целесообразно оси координат расположить так, чтобы одна из них совпадала с направлением движения. Тогда задача сведется к решению только одного уравнения (2.15). Итак, выберем ось $x$, как показано на рис. 2.2 , обязательно указав при этом ее положительное направление (стрелкой).

И только теперь приступим к составлению уравнений (2.15): слева – произведение массы $m$ бруска на проекцию его ускорения $a_{x}$ и справа – проекции всех сил на ось $x$. Тогда
\[
m a_{x}=m g_{x}+R_{x}+F_{\mathrm{rp} x} .
\]

В данном случае $g_{x}=g \sin \alpha, R_{x}=0$ и $F_{\text {тр } x}=-F_{\mathrm{Tp}}$, поэтому
\[
m a_{x}=m g \sin \alpha-F_{\mathrm{rp}} .
\]

Так как брусок движется только вдоль оси $x$, то это значит, согласно второму закону Ньютона, что сумма проекций всех сил на любое перпендикулярное оси $x$ направление равна нулю. Взяв в качестве такого направления ось $y$ (рис. 2.2), получим
\[
R=m g \cos \alpha, \quad F_{\mathrm{tp}}=k R=k m g \cos \alpha .
\]

В результате
\[
m a_{x}=m g \sin \alpha-k m g \cos \alpha .
\]

Если правая часть этого уравнения окажется положительной, то $a_{x}>0$, а это значит, что вектор а направлен вниз по наклонной плоскости, и наоборот.

В проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке. Записывая обе части (2.14) в проекциях на подвижные орты $\tau$ и $\mathbf{n}$ (рис. 2.3) и используя полученные ранее выражения (1.10) для тангенциального и нормального ускорений, получим

где $F_{\tau}$ и $F_{n}$ – проекции вектора $\mathbf{F}$ на орты $\tau$ и n. На рис. 2.3 обе проекции положительные. Векторы $\mathbf{F}_{\tau}$ и $\mathbf{F}_{n}$ называют тангенциальной и нормальной составляющими силы $\mathbf{F}$.
Напомним, что направление орта $\tau$ выбирают в сторону возрастания дуговой координаты $l$, а направление орта $\mathbf{n}$-к центру кривизны траектории в данной точке. Уравнениями (2.16) удобно пользоваться, если заранее известна траектория материальной точки.

Рис. 2.3
Рис. 2.4

Пример.
Небольшое тело $A$ соскальзывает с вершины гладкой сферы радиуса $r$. Найдем скорость тела в момент отрыва от поверхности сферы, если его начальная скорость пренебрежимо мала.

Изобразим силы, действующие на тело $A$ (это сила тяжести $m g$ и нормальная сила реакции $\mathbf{R}$ ), и запишем уравнения (2.16) в про.
\[
m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=m g \sin \vartheta, \quad m \frac{v^{2}}{r}=m g \cos ^{2} \vartheta-R .
\]

Здесь индекс $\tau$ несуществен, поэтому мы его опустили.
Преобразуем первое уравнение к виду, удобному для интегриро. вания. Воспользовавшись тем, что $\mathrm{d} t=\mathrm{d} l / v=r \mathrm{~d} \vartheta / v$, где $\mathrm{d} l$ – элементарный путь тела $A$ за промежуток времени $\mathrm{d} t$, перепишем первое уравнение в виде
\[
v \mathrm{~d} v=g r \sin \vartheta \mathrm{d} \vartheta .
\]

Проинтегрировав левую часть этого выражения от 0 до $v$, правую от 0 до $\vartheta$, найдем
\[
v^{2}=2 g r(1-\cos \vartheta) .
\]

В момент отрыва $R=0$, поэтому второе исходное уравнение принимает вид
\[
v^{2}=g r \cos 8,
\]

где $v$ и $\vartheta$ соответствуют точке отрыва. Исключив $\cos \vartheta$ из последних двух равенств, получим
\[
v=\sqrt{2 / 3 g r} .
\]