Согласно принципу относительности Эйнштейна, все законы природы должны быть инвариантны по отношению к инерциальным системам отсчета. Другими словами, математические формулировки законов должны иметь один и тот же вид во всех этих системах отсчета. В частности, это относится и к законам динамики.

Однако, как показывает более детальное рассмотрение, уже основное уравнение динамики Ньютона $m a=\mathbf{F}$ не удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца при переходе к другой инерциальной системе придают ему совершенно иную форму.

Чтобы удовлетворить требованиям принципа относительности, основное уравнение динамики должно иметь другой вид и лишь при $v \ll c$ переходить в ньютоновское уравнение. Этим требованиям, как доказывается в теории относительности, удовлетворяет уравнение
\[
\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=\mathbf{F},
\]

где $\mathbf{F}$ – сила, действующая на частицу. Данное уравнение по виду полностью совпадает с основным уравнением ньютоновской динамики (3.1). Однако физический смысл здесь уже другой: слева стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (7.3). Подставив (7.3) в (7.4), запишем последнее уравнение так:

Этои есть основное уравнение релятивистской дин амики.

Нетрудно видеть, что именно в таком виде уравнение динамики приводит к сохранению импульса для свободной частицы и при малых скоростях ( $v \ll c$ ) принимает форму основного уравнения ньютоновской динамики $(m \mathbf{a}=\mathbf{F})$.

Кроме того, именно в таком виде основное уравнение динамики оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Не останавливаясь на способе доказательства этого, отметим только, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой необходимо принять, что сила $\mathbf{F}$ преобразуется по определенным законам. Другими словами, сила $\mathbf{F}$ в теории относительности – величина неинвариантная, в разных системах отсчета ее числовое значение и направление будут различны*.

Из основного уравнения релятивистской динамики следует неожиданный вывод: вектор ускорения а частицы в общем случае не совпадает по направлению с век-

тором силы F. Чтобы это показать, запишем (7.5) в такой форме:
\[
\mathrm{d}(m \mathrm{v}) / \mathrm{d} t=\mathbf{F},
\]

где $m$-релятивистская масса частицы. Выполнив дифференцирование по времени, получим
\[
(\mathrm{d} m / \mathrm{d} t) \mathbf{v}+m(\mathrm{~d} \mathbf{v} / \mathrm{d} t)=\mathbf{F} .
\]

Это выражение графически представлено на рис. 7.4. Таким образом, действительно, вектор ускорения а в общем случае не коллинеарен вектору силы $\mathbf{F}$.

Вектор ускорения а совпадает по направлению с вектором $\mathrm{F}$ только в двух случаях:
1) если $F \perp v$ (поперечная сила). При этом вектор скорости $\mathbf{v}$ по модулю не меняется, т. е. $v=$ const, и уравнение (7.5) принимает вид
\[
m_{0} \mathrm{a} / \sqrt{1-(v / c)^{2}}=\mathrm{F},
\]

откуда ускорение
\[
\mathbf{a}=\left(\mathrm{F} / m_{0}\right) \sqrt{1-(v / c)^{2}} ;
\]
2) если $\mathbf{F} \| \mathbf{v}$ (продольная сила). В данном случае уравнение (7.5) можно записать в скалярном виде. Выполнив в его левой части дифференцирование по времени, получим
\[
\left(\frac{m_{0}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}+\frac{m_{0} v^{2} / c^{2}}{\left(1-(v / c)^{2}\right)^{3 / 2}}\right) \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=F,
\]

откуда ускорение (в векторном виде) есть
\[
\mathbf{a}=\left(\mathrm{F} / m_{0}\right)\left(1-(v / c)^{2}\right)^{3 / 2} .
\]

Нетрудно заметить, что при одинаковых в обоих случаях значениях силы $F$ и скорости $v$ поперечная сила сообщает частице большее ускорение, чем продольная сила.

Основное уравнение релятивистской динамики позволяет найти закон действующей на частицу силы $F$, если известна зависимость от времени релятивистского импульса $\mathbf{p}(t)$, а с другой стороны, найти уравнение движения частицы $\mathbf{r}(t)$, если известны действующая сила и начальные условия – скорость $\mathbf{v}_{0}$ и положение $\mathbf{r}_{0}$ частицы в начальный момент времени.

В качестве примеров на применение уравнения (7.5) могут служить задачи 7.1-7.3.