Выберем произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц:

\[
\mathbf{L}=\sum \mathbf{L}_{i},
\]

где все векторы определены относительно одной и той же точки $O$ заданной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы – величина аддитивная: момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Выясним, какая величина определяет изменение моиента импульса системы. Для этого продифференцируем (5.11) по времени: $\mathrm{d} \mathbf{L} / \mathrm{d} t=\sum \mathbf{L} \mathbf{L}_{i} / \mathrm{d} t$. В предыдущем параграфе было показано, что производная $\mathrm{d} \mathbf{L}_{i} / \mathrm{d} t$ равна моменту всех сил, действующих на $i$-ю частицу. Представим этот момент в виде суммы моментов внутренних и внешних сил, т. е. $\boldsymbol{M}_{i}{ }^{\prime}+\boldsymbol{M}_{i}$. Тогда
\[
\mathrm{d} \mathbf{L} / \mathrm{d} t=\sum \mathbf{M}_{i}^{\prime}+\sum \mathbf{M}_{i} .
\]

Здесь первая сумма– это суммарный момент всех внутренних сил относительно точки $O$, вторая сумма – суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки $O$.

Покажем, что суммарный момент всех внутренних сил относительно любой точки равен нулю. Действительно, внутренние силы – это силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона, эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил каждой пары взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю.
В результате последнее уравнение принимает вид

где $\mathbf{M}_{\text {внеш }}$ – суммарный момент всех внешних сил, $\mathbf{M}_{\text {внеш }}=\sum \mathbf{M}_{i}$.

Уравнение (5.12) утверждает: производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил. Разумеется, оба момента, $\mathbf{L}$ и $\mathbf{M}$, здесь определены относительно одной и той же точки $O$ заданной системы отсчета.

Как и в случае одной частицы, из уравнения (5.12) следует, что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени $t$
т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, оба момента, $\mathbf{L}$ и $\mathbf{M}_{\text {внеш }}$ определены относительно одной и той же точки $O$ выбранной системы отсчета.

Уравнения (5.12) и (5.13) справедливы как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета. Только в неинерциальной системе отсчета нужно учитывать и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под $\boldsymbol{M}_{\text {внеш }}$ в этих уравнениях следует понимать сумму $\boldsymbol{M}_{\text {вз }}+\boldsymbol{M}_{\text {ин }}$, где $\boldsymbol{M}_{\mathrm{в} 3}$ – суммарный момент внешних сил взаимодействия, $\mathbf{M}_{\text {ни }}$ – суммарный момент сил инерции (относительно одной и той же точки $O$ системы отсчета).

Итак, мы пришли к важному выводу: согласно уравнению (5.12), момент импльса системы может изменяться под действием только суммарного момента всех внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает и другой важный вывод-закон сохранения моментаимпульс а:
момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т. е. не меняется со временем, причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета.

Таким образом, в.инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц

При этом моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем, что и подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение момента импульса одной части системы равно убыли момента импульса ее другой части (конечно, относительно одной и той же точки системы отсчета).

В этом смысле уравнения (5.12) и (5.13) можно рассматривать как более общую формулировку закона со-

хранения момента импульса, формулировку, в которой указана и причина изменения момента импульса интересующей нас системы – действие других тел (через момент внешних сил взаимодействия). Сказанное, разумеется, справедливо только по отношению к инерциальным системам отсчета.

Подчеркнем еще раз: закон сохранения момента импульса имеет место только по отношению к инерциальным системам отсчета. Однако это не исключает случаев,

Рис. 5.11

когда момент импульса системы сохраняется и в неинерциальных системах отсчета. Для этого достаточно, чтобы согласно уравнению (5.12) – а оно справедливо и в неинерциальных системах отсчета-суммарный момент всех внешних сил (включая и силы инерции) был равен нулю. Такие ситуации реализуются довольно редко и соответствующие случаи имеют весьма частный характер. Закон сохранения момента импульса играет такую же важную роль, как и законы сохранения энергии и импульса. Уже сам по себе он позволяет сделать во многих случаях ряд существенных заключений о свойствах тех или иных процессов, совершенно не вникая в их детальное рассмотрение. Проиллюстрируем сказанное на таком примере.

Пример.
Два одинаковых шара насажены на гладкий горизонтальный стержень, по которому они могут скользить (рис. 5.11). Шары сближают и соединяют нитью. Затем всю установку приводят во вращение вокруг вертикальной осй, предоставляют ее самой себе и пережигают нить. Шары, естественно, разлетаются к концам стержня. УГловая скорость установки при этом резко уменьшается.

Наблюдаемый эффект является прямым следствием закона сохранения момента импульса. Данная установка ведет себя, по существу, как замкнутая: внешние силы компенсируют друг друга, силы трения в оси предполагаются пренебрежимо малыми. Для количественной оценки изменения угловой скорости будем считать, что масса всей установки практически сосредоточена в шарах, а их размеры

достаточно малы. Тогда из равенства моментов импульса шаров относительно точки $C$ в начальном и конечном состояниях системы, $2 m\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{v}_{1}\right]=2 m\left[\mathbf{r}_{2} \mathbf{v}_{2}\right]$, следует
\[
r_{1}^{2} \omega_{1}=r_{2}^{2} \omega_{2} .
\]

Отсюда видно, что с увеличением расстояния $r$ щаров от оси вращения угловая скорость установки уиеньшается (как $1 / r^{2}$ ). И наоборот, если бы расстояние между шарами уменьшалось (под действием каких-либо внутренних сил), угловая скорость установки увеличивалась бы. Этот эффект имеет общий характер, и его широко используют, например, фигуристы и гимнасты.
Обратим внимание на тот факт, что конечный ревультат совершенно не зависит от характера внутренних сил (здесь – это силы треРис. 5.12 ния между шарами и стержнем).
Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса L сохраняется для незамкнутых систем, у которых, как известно, импульс р меняется со временем. Если относительно некоторой точки $O$ выбранной системы отсчета, суммарный момент внешних сил $\boldsymbol{M}_{\text {внеш }} \equiv 0$ в течение интересующего нас промежутка времени, то, согласно (5.12), момент импульса системы относительно точки $O$ сохраняется за это время. В незамкнутых системах такой точки, вообще говоря, может и не быть, что следует прежде всего выяснить для каждого конкретного случая.

Пример 1. Система Земля – Луна, движущаяся в поле тяготения Солнца, является незамкнутой. Ее импульс все время меняется под действием сил тяготения со стороны Солнца. Здесь, однако, имеется одна точка, относительно которой момент сил тяготения, действующих на данную систему, все время равен нулю, – это центр Солнца. Поэтому можно сразу утверждать, что момент импульса системы Земля – Луна относительно центра Солнца остается постоянным.

Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень $O B$, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец $O$ (рис. 5.12). В конец $B$ стержня попадает, застревая, шайба $A$, скользившая по плоскости, и вся система начинает вращаться как единое целое вокруг точки $O$.

Ясно, что система шайба – стержень незамкнутая: кроме сил, уравновешивающих друг друга в вертикальном направлении, со стороны оси в процессе удара будет действовать горизонтальная сила, а после того, как стержень начнет вращаться, возникает еще одна сила со стороны оси, благодаря которой центр масс системы будет двигаться по окружности. Но обе силы проходят через точку $O$, а

следовательно, момент этих внешних сил относительно точки $O$ все время равен нулю. Отсюда вывод: момент импульса данной системы будет оставаться постоянным относительно точки $O$.

В более ограниченном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса $\mathbf{L}$, а его проекция на некоторую неподвижную ось $z$. Это бывает тогда, когда проекция суммарного момента $\mathbf{M}_{\text {внеш }}$ всех внешних сил на эту ось $z$ равна нулю. В самом деле, записав уравнение (5.12) в проекциях на ось $z$, получим
\[
\mathrm{d} L_{z} / \mathrm{d} t=M_{\text {внеш } z} .
\]

Здесь $L_{z}$ и $M_{\text {внеш } z}$ – момент импульса и суммарный момент внешних сил относительно оси $z$ :
\[
L_{z}=\sum L_{i z}, \quad M_{\text {внеи } z}^{-}=\sum M_{i z},
\]

где $L_{i z}$ и $M_{t z}$ – момент импульса и момент внешних сил относительно оси $z$ для $i$-й частицы системы.

Из уравнения (5.15) следует, что если относительно некоторой неподвижной в данной системе отсчета оси $z$ проекция $M_{\text {внеш }} \equiv 0$, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется:
\[
L_{z}=\sum L_{l z}(t)=\text { const. }
\]

При этом сам вектор $\mathbf{L}$, определенный относительно произвольной точки $O$ на этой оси, может меняться. Например, если система движется в однородном поле тяжести, то суммарный момент всех сил тяжести относительно любой неподвижной точки $O$ перпендикулярен вертикали, а значит, относительно любой вертикальной оси $M_{\text {внеш } z} \equiv 0$ и $L_{z}=$ const, чего нельзя сказать о векторе $\mathbf{L}$.

Рассуждения, которые приводят к закону сохранения момента импульса, целиком опираются на справедливость законов Ньютона. А как обстоит дело в системах, не подчиняющихся этим законам, например в системах с электромагнитным излучением, в атомах, ядрах и др.?

Учитывая громадную роль, которую играет закон сохранения момента импульса, в физике понятие момента импульса расширяют на немеханические системы (которые не подчиняются законам Ньютона) и постулируют закон сохранения момента импульса для всех физических процессов.

Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является следствием законов Ньютона, а представляет собой самостоятельный общий принцип,
являющийся обобщением опытных фактов. Наряду с законами сохранения энергии и импульса закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных законов природы.